1、湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020-2021学年下学期期末考试高二数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ）A. B. 1C. 0D. -13. 近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加.如图为国家统计局发布的年幼儿园数量及学前教育毛入园率统计图.根据该统计图，下列说法不一定正确的是（ ）注： .A. 年，全国共有幼儿园万所B. 年的幼儿园数量比上一年大约增长了C. 年我国适合入读幼儿园的人数在持续增
2、加D. 年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加4. 已知抛物线：，则（ ）A. 它焦点坐标为B. 它的焦点坐标为C. 它的准线方程是D. 它的准线方程是5. 二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍.A. B. 4.5C. 450D. 7. 天干地支纪年法
3、源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）A. 辛酉年B. 辛戊年C. 壬酉年D. 壬戊年8. 已知函数，若存在，
4、使，则的最大值为（ ）A. 0B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 函数yf（x）的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A. 3是函数yf（x）的极值点B. 1是函数yf（x）的最小值点C. yf（x）在区间（3，1）上单调递增D. yf（x）在x0处切线的斜率小于零10. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，则下列说法正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为B. 圆柱的侧面积为C. 圆柱的表面积为D. 圆柱的表面积为11. 已知函数，的部分图象如图所示，其
5、中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A. 最小正周期为B. 的最大值为C. D. 为偶函数12. 下列说法正确的是（ ）A. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B. 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C. 已知随机变量X的分布列为，则D. 若随机变量，且.则，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，若，则_.14. 已知是函数的零点，且，则_15. 从1，2，3，4，5，6这六个数任取两
6、个不同的数，则所取两个数的和能被5整除的概率为_16. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为_；若是的中点，且正方体的表面（包括边界）上的动点满足条件，则三棱锥体积的最大值是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在中，角，所对的边分别为，.且满足.（1）求；（2）已知，求外接圆的面积.18. 设数列满足：，且（1）求数列通项公式；（2）若为与的等比中项，求
7、数列的前项和19. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数12学习成绩不优秀人数26合计（1）运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？（2）采用分层抽样的方法从这
8、80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为，求的分布列和数学期望参考数据：，其中0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820. 如图所示，在边长为12的正方形中，点，在线段上，且，作分别交，于点，；作，分别交，于点，现将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱（1）在三棱柱中，求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值21. 已知椭圆C：过点，c为椭圆的半焦距，且.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为，求P
9、MN的面积；22. 已知函数，（1）若，求曲线在点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若对任意，求整数的最小值答案解析部分一、单选题1.设集合 A=1,2,3,4,5,6 ， B=2,3 ， C=xR|-10 ，使 f(x0)ax0 ，则 a 的最大值为（ ） A.0B.-1C.1-eD.1-e2【答案】 B 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】【解答】由 2lnx-x2ex+1ax 得 2lnx-ax+1x2ex=ex+2lnx ， 因为 exx+1 ，当且仅当 x=0 时，等号成立，所以 ex+2lnxx+2lnx+1 ，当 a-1 时， ex+2lnxx+2lnx+12lnx-
10、ax+1 ，不符题意，当 a-1 时，取 x0+2lnx0+1=0 ，则 2lnx0-ax0+12lnx0+x0+1=e2lnx0+x0 ，即 a-1。故答案为：B 【分析】由 2lnx-x2ex+1ax 得 2lnx-ax+1x2ex=ex+2lnx ，因为 exx+1 ，当且仅当 x=0 时，等号成立，所以 ex+2lnxx+2lnx+1 ，再利用分类讨论的方法，从而求出实数a的取值范围。 二、多选题9.函数yf（x）的导函数 f(x) 的图象如图所示，以下命题错误的是（） A.3是函数yf（x）的极值点B.1是函数yf（x）的最小值点C.yf（x）在区间（3，1）上单调递增D.yf（x）
11、在x0处切线的斜率小于零【答案】 B,D 【考点】函数的最值及其几何意义，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件 【解析】【解答】根据导函数图象可知当x（,3）时， f(x)0,0,00 ， 0 ， 0) 的部分图象， 得 122=712-12 ，=2 再根据五点法作图可得 212+=2 ，=3 根据函数的图象经过 (0,3) ，可得 Asin=Asin3=3 ， A=2 ，f(x)=2sin(2x+3) 故 A,f(x) 的最小正周期为 ，所以 A 正确；B,f(x) 的最大值为2，所以 B 正确；C, 由题得 f(4)=2sin(2+3)=1 ，所以 C 正确；
12、D,f(x+3)=-2sin2x 为奇函数，所以 D 错误.故答案为：ABC 【分析】首先由图象以及正弦函数的周期公式即可求出A=2，=2 ， 再由五点法代入数值计算出=3 ， 进而求出函数的解析式结合题意对选项逐一判断即可得出答案。12.下列说法正确的是（ ） A.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 12 ，则游戏者闯关成功的概率为 3132B.从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 C51C143C154C.已知随机变量X的分布列为 P(X=i)=ai(i+1)(i=1,2,3) ，则 P(X
13、=2)=29D.若随机变量 N(2,o2) ，且 =3+1 .则 P(2)=0.5 ， E()=6【答案】 A,C 【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】A. 5次都没投中的概率为 (12)5=132 . 所以游戏者闯关成功的概率为 1-132=3132 ，A符合题意.B. 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.共有 C51C103+C52C102+C53C101+C54=1155 种
14、情况.而 C51C143=1820所以其中至少有一名女生的概率为： C51C103+C52C102+C53C101+C54C154C51C143C154 .B不正确.C. 由 P(X=i)=ai(i+1)(i=1,2,3) ，则 a(12+16+112)=1 ，解得 a=43所以 P(X=2)=43123=29 ，C符合题意.D. 由随机变量 N(2,o2) ，则 P(2)=0.5 ， E()=2所以 E()=E(3+1)=3E()+1=7 ,D不正确.故答案为：AC 【分析】利用独立事件乘法求概率公式得出5次都没投中的概率，再利用对立事件求概率公式，从而求出游戏者闯关成功的概率；利用已知条件
15、结合组合数公式，再结合分类加法计数原理结合古典概型求概率公式，从而求出其中至少有一名女生的概率；利用随机变量X的分布列为 P(X=i)=ai(i+1)(i=1,2,3)结合概率之和等于1，从而求出a的值，再利用代入法，从而求P(X=2)的值；利用已知条件结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合随机变量的期望公式和性质，从而求出 E()的值，进而选出说法正确的选项。三、填空题13.已知 a=(1,m) ， b=(2,3) ，若 ab ，则 m= _. 【答案】-23【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】由题意,因为 ab ,所以 ab=2+3m=0 ,解得
16、 m=-23 。 故答案为: -23。 【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。14.已知 x0 是函数 f(x)=lgx+x-4 的零点，且 x0(k,k+1) ， kZ ，则 k= _ 【答案】 3 【考点】函数单调性的判断与证明，函数零点的判定定理 【解析】【解答】因为函数 f(x)=lgx+x-4 显然是单调递增函数， 又因为 f(3)=lg3+3-4=lg3-10 ，根据函数零点存在性定理可得，函数 f(x) 有唯一零点，且零点位于区间 (3,4) ；又因为 x0 是函数 f(x)=lgx+x-4 的零点，且 x0(k,k+1)
17、 ， kZ ，所以只需 k=3 。故答案为：3。 【分析】利用增函数的定义判断出函数 f(x)=lgx+x-4 是增函数，再利用零点存在性定理，从而得出函数 f(x) 有唯一零点，且零点位于区间 (3,4) ，又因为 x0 是函数 f(x)=lgx+x-4 的零点，且 x0(k,k+1) ， kZ ，从而求出k的值。15.从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，则所取两个数的和能被5整除的概率为_ 【答案】15【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，有如下情形： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(
18、2,3),(2,4),(2,5) ，(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6) ，共计15种，其中 (1,4),(2,3),(4,6) 能被5整除，计3种，所以所取两个数的和能被5整除的概率为 315=15 。故答案为： 15 。 【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出所取两个数的和能被5整除的概率。16.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 A ， B 距离之比 (0,1) 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 是正方
19、体的表面 ADD1A1 （包括边界）上的动点，若动点 P 满足 PA=2PD ，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为_；若 E 是 CD 的中点，且正方体的表面 ADD1A1 （包括边界）上的动点 F 满足条件 APB=EPD ，则三棱锥 F-ACD 体积的最大值是_ 【答案】43；439【考点】轨迹方程，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】D为坐标原点，DA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（2，0），D（0，0），设P（x，y），因为PA2PD ， 所以 (x-2)2+y2=2x2+y2 ，整理得 (x+23)2+y2=(43)2 ，故点P所形成的阿氏圆的半径为 43 ；因为AB平面
20、ADD1A1 ， CD平面ADD1A1 ， 所以PAB90，PDE90，所以tanAPB ABAP ，tanDPE=DEDP ，又APBDPE ， 则 ABAP=DEDP ，因为E是CD的中点，所以AP2DP ， 由1空的结论可知，点P的轨迹为 (x+23)2+y2=(43)2 的一部分，则当P在DD1上时，三棱锥PACD的体积最大，图2中的DP3即为三棱锥PACD最大的高，所以 DP3=r2-OD2=(43)2-(43-23)2=233 ，则三棱锥PACD体积的最大值是 13SACDDP3=131222233=439 。故答案为： 43 ； 439 。 【分析】以D为坐标原点，DA为x轴建立
21、平面直角坐标系，从而求出点的坐标，则A（2，0），D（0，0），设P（x ， y），因为PA2PD ， 再利用两点距离公式，所以 (x+23)2+y2=(43)2 ，故点P所形成的阿氏圆的半径为 43 ，因为AB平面ADD1A1 ， CD平面ADD1A1 ， 所以PAB90，PDE90，再利用正切函数的定义，所以tanAPB ABAP ，tanDPE=DEDP ，又因为APBDPE ， 则 ABAP=DEDP ，因为E是CD的中点，所以AP2DP ， 从而求出点P的轨迹为 (x+23)2+y2=(43)2 的一部分，则当P在DD1上时，三棱锥PACD的体积最大，则DP3即为三棱锥PACD最大的
22、高，再利用勾股定理求出 DP3的长 ，再利用三棱锥的体积公式求出三棱锥PACD体积的最大值 。四、解答题17.在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .且满足 3bcosC-csinB=0 . （1）求 C ； （2）已知 c=23 ，求 ABC 外接圆的面积. 【答案】 （1）由 3bcosC-csinB=0 ，根据正弦定理可得： 3sinBcosC-sinCsinB=0 sinB0 ， 3cosC=sinC ， tanC=3 ， C(0,) ， C=3 ；（2） c=23 ， C=3 ，设 ABC 外接圆的半径为 R ， 由正弦定理可得， 2R=csin
23、c=2332=4 ， R=2 ， ABC 外接圆的面积为 4 .【考点】正弦定理 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角B的取值范围，从而结合同角三角函数基本关系式，进而求出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。 （2）利用已知条件结合正弦定理的性质，从而求出三角形 ABC 外接圆的半径，再利用圆的面积公式，从而求出三角形 ABC 外接圆的面积。 18.设数列 an 满足： an+1=1+an ，且 a1=3 （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn 为 an 与 an+1 的等比中项，求数列 1bn2 的前 n 项和 Tn 【答案】 （1）
24、由 an+1=1+an 可得 an+1-an=1 ，所以数列 an 是公差为 1 的等差数列， 又 a1=3 ，所以 an=3+(n-1)1=n+2 （2）因为 bn 为 an 与 an+1 的等比中项，所以 bn2=anan+1 ， 所以 1bn2=1anan+1=1(n+2)(n+3)=1n+2-1n+3 所以 Tn=1a1a2+1anan+1=134+145+156+1(n+2)(n+3)=(13-14+14-15+1n+2-1n+3)=13-1n+3=n3n+9 【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和，等比数列的性质 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形，再利用
25、等差数列的定义，从而判断出数列 an 是公差为 1 的等差数列，又因为 a1=3 ，从而利用等差数列的通项公式，进而求出数列 an 的通项公式。 （2）利用（1）求出的数列 an 的通项公式结合等比中项的公式，再结合已知条件 bn 为 an 与 an+1 的等比中项， 从而求出数列 1bn2 的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 1bn2 的前 n 项和。 19.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使
26、用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数a12学习成绩不优秀人数b26合计（1）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？（2）采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为X，求X的分布列和数学期望参考数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+dP（K2k0）
27、0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）由己知得a+b+12+26=80,a=2b解得a=28,b=14,补全表中所缺数据如下：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880根据题意计算观测值为K2=80(2826-1412)2423840409.8257.879，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响（2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名从而X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(x=0)=C30C33C63=120
28、,P(x=1)=C31C32C63=920,P(x=2)=C32C31C63=920,P(x=3)=C33C30C63=120,所以X的分布列为X0123P120920920120X的数学期望为E(x)=0120+1920+2920+3120=32【考点】分层抽样方法，独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合列联表中的数据将列联表补充完整，再利用列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响。 （2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而得出抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名，
29、进而求出随机变量X的所有可能取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。20.如图所示，在边长为12的正方形 AAA1A1 中，点 B ， C 在线段 AA 上，且 AB=3 ， BC=4 作 BB1/AA1 分别交 A1A1 ， AA1 于点 B1 ， P ；作 CC1/AA1 ，分别交 A1A1 ， AA1 于点 C1 ， Q 现将该正方形沿 BB1 ， CC1 折叠，使得 AA1 与 AA1 重合，构成如图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1 （1）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，求证
30、： APBC ； （2）求平面 PAQ 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 【答案】 （1）因为 AB=3 ， BC=4 ， 所以图中 AC=5 ，从而有 AC2=AB2+BC2 ，即 BCAB 又因为 BCBB1 ，所以 BC 平面 ABB1A1 ，由 AP 平面 ABB1A1 ，故 APBC （2）如图，建立空间直角坐标系 由图可知 BP=BA=3,CQ=CA=7，A(3,0,0),P(0,0,3),Q(0,4,7)AP=(-3,0,3),PQ=(0,4,4)设平面 PAQ 的法向量为 n1=(x,y,z) ，则有 APn1=0PQn2=0-3x+3z=04y+4z=0x=zy=-z所
31、有可取 n1=(1,-1,0)又平面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1)设平面 PAQ 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ，从而 cos=|cos|=|n1n2|n1|n2|=13=33故平面 PAQ 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 33 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1） 因为 AB=3 ， BC=4 ，再利用勾股定理，所以图中 AC=5 ，再利用勾股定理，则 BCAB ，又因为 BCBB1 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 BC 平面 ABB1A1 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，即证出APBC 。 （2）
32、利用已知条件，建立空间直角坐标系，由图可知 BP=BA=3,CQ=CA=7，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出平面 PAQ 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值。 21.已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(ab0) 过点 P(-1,-1) ，c为椭圆的半焦距，且 c=2b .过点P作两条互相垂直的直线l1 ， l2与椭圆C分别交于另两点M ， N. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l1的斜率为-1，求PMN的面积； 【答案】 （1）解：由条件得 1a2+1b2=1 ，且 c2=2b2 ， 所以 a2=3b2 ，解得 b2=43,a
33、2=4 .所以椭圆C的方程为 x24+3y24=1 .（2）直线l1的方程为 y+1=-(x+1) ，联立 y=-x-2x2+3y2=4消去y得 x2+3x+2=0 .解得 M(-2,0)直线 l2:y=x ，联立 y=xx2+3y2=4消去y得 x2=1 .解得 N(1,1)所以 PM=(-2+1)2+(0+1)2=2,PN=(1+1)2+(1+1)2=22 ，所以PMN的面积为 12222=2 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）利用椭圆C： x2a2+y2b2=1(ab0) 过点 P(-1,-1) 结合代入法得出a,b的关系式，再利用已知条件 c=2b 结合椭圆中a
34、,b,c三者的关系式，从而求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。 （2） 利用点斜式结合已知条件求出直线l1的方程为 y+1=-(x+1) ，再利用直线l1与椭圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，再利用直线 l2:y=x 与椭圆相交，联立二者方程求出交点N的坐标，再利用两点距离公式求出PM和PN的长，再结合三角形面积公式，从而求出三角形 PMN的面积。22.已知函数 f(x)=xlnx+ex-ax ， g(x)=(x2-2x-1)ex-x2 （1）若 a=1 ，求曲线 f(x) 在点 (1,f(1) 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若对任意 x(0,1) ， f(x)+g(
35、x)0 ，求整数 a 的最小值 【答案】 （1）若 a=1 ，则函数 f(x)=xlnx+ex-x ，定义域是 (0,+) ， 可得 f(x)=lnx+ex ，则 f(1)=e-1 ， f(1)=e ，故曲线 f(x) 在点 (1,f(1) 的切线 l 的方程为 y=ex-1 ，设切线 l 与 x ， y 轴分别交于 A ， B 两点，令 x=0 得 y=-1 ，令 y=0 得 x=1e ，即 A(1e,0) ， B(0,-1) ，SAOB=12e ；（2）由 x(0,1) ， f(x)+g(x)lnx-x+(x-2)ex ， 设 h(x)=(x-2)ex+lnx-x ， x(0,1) ，则
36、h(x)=(x-1)(ex-1x) ，当 0x1 时， x-10 ，故 u(x) 在 (0,1) 递增，又 u(12)=e-20 ，故存在 x0(12,1) ，使得 u(x0)=0 ，即 ex0=1x0 ， lnx0=-x0 ，当 x(0,x0) 时， u(x)0 ，当 x(x0,1) 时， u(x)0 ， h(x)h(x) 对任意 x(0,1 恒成立，又 aZ ，故 a 的最小值是-3【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再
37、利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程，设切线 l 与 x ， y 轴分别交于 A ， B 两点，令 x=0 得 y=-1 ，令 y=0 得 x=1e ，即 A(1e,0) ， B(0,-1) ，再利用两点距离公式结合点到直线的距离公式和三角形面积公式，从而求出 曲线 f(x) 在点 (1,f(1) 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。 （2） 由 x(0,1) ， f(x)+g(x)lnx-x+(x-2)ex ，设 h(x)=(x-2)ex+lnx-x ， x(0,1) ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，因为函数 y=1-(2x0+2x0) 在 x0(12,1) 时单调递增，故 h(x0)(-4,-3) ，因为 ah(x) 对任意 x(0,1 恒成立，又因为 aZ ，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数 a 的最小值。
