1、第十章排列、组合、二项式定理和概率第讲（第一课时）1考点搜索二项式定理，二项展开式及其通项公式二项式系数及其性质高考猜想1.利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题.2.利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等.21.对于nN*，(a+b)n=_，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a+b)n的_.2.二项展开式中各项的系数 (r=0，1，2，n)叫做_；二项展开式的第r+1项叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，Tr+1=_.3.与首末两端_的两个二项式系数相等.二项展开式二项式系数等距离34.二项式系数的前半部分是_，后半部分是_，且在中间取得_.5.当n为偶数
2、时，二项展开式的项数为奇数，正中间一项的二项式系数是_；当n为奇数时，二项展开式的项数为偶数，正中间两项的二项式系数是_.6._；_(所有偶数项的二项式系数之和等于所有奇数项的二项式系数之和).递增的递减的最大值2n2n-141.的展开式中的常数项是()A.14B.-14C.42D.-42解：设的展开式中的第r+1项为，当，即r=6时，它为常数项，所以常数项为.A52.已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|等于()A.29B.49C.39D.1解：x的奇数次方的系数都是负值，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a
3、3+-a9.所以已知条件中只需令x=-1即可.故选B.B63.已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是 _.解：因为的展开式中各项系数和为128，所以令x=1，即得所有项系数和为2n=128，所以n=7.设该二项展开式中的第r+1项为，令,即r=3时，x5项的系数为=35.3571.如果在的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，,由题意得 ,解得n=8.题型1 求二项展开式中的项8设第r+1项为有理项，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.所以展开式中的有理项为T1=x4，.点评：熟记二项展开式的通项公式是求指定项的基础，求解过程
4、中注意项的符号、系数、字母、字母指数四个方面.9已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是143，求展开式中的常数项.解:依题意有=143,化简得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不符合题意,舍去).设该展开式中第r+1项为所求的项，则.令,得r=2.故展开式中的常数项为第三项,且.102.(1)求(1+2x-x2)(1-x)10的展开式中x4的系数.(2)求(1+x)+(1+x)2+(1+x)15的展开式中x3的系数.解：(1)因为(1-x)10展开式中x4，x3，x2的系数分别为，所以展开式中合并同类项后x4的系数是 .题型2 求二项展开式中指定项的系数11(2)
5、原式=.因为(1+x)16的二项展开式中x4的系数是=1820，所以原式的展开式中x3的系数是1820.点评:多个二项式运算结果中的指定项的系数求解问题,涉及到多个项的搭配,在配凑过程中,一是注意不要遗漏某些对应项,如第(1)问中的第一个式子中的常数项、一次项、二次项分别对应第二个式子中的四次项、三次项、二次项;二是注意一些公式的转化变形;如第(2)问中的多个求和式子可利用求和公式将其转化.12求的展开式中的常数项.解法1：.得到常数项的情况有：三个括号中全取-2，得(-2)3；一个括号中取|x|，一个括号中取 ,一个括号中取-2，得，所以展开式中的常数项为(-2)3+(-12)=-20.13
6、解法2：.设第r+1项为常数项，则令6-2r=0，得r=3.所以展开式中常数项为.143.(1)求(1-3x)8的展开式中各项系数的绝对值之和.(2)求(1+2x)12(2-x)8的展开式中x的奇次幂的系数之和.解:(1)设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8.其中a0,a2,a4,a6,a80,a1,a3,a5,a70.取x=-1，则|a0|+|a1|+|a2|+|a8|=a0-a1+a2-a3+a8 =(1+3)8=48.题型3 求展开式中的系数和15(2)因为(1+2x)12(2-x)8的展开式中x的最高次幂为20,从而可设(1+2x)12(2-x)8=a0+a1x+a2x2
7、+a20 x20.取x=1,则a0+a1+a2+a20=312.取x=-1,则a0-a1+a2-+a20=38.-,得a1+a3+a5+a19=312-382=4038.故展开式中x的奇次幂的系数之和为4038.16点评:求展开式中的系数和问题,一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.17已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a8x8，则a1+a2+a3+a8=_.解：令x=1，则a0+a1+a2+a8=2+22+28=510.令x=0，则a0=8，所以a1+a
8、2+a8=502.50218(1)已知(1+2x)6的展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的取值范围；(2)已知(1+x+mx2)10的展开式中x4的系数大于-330，求m的取值范围.题型求二项式中参数的取值范围19解：(1)因为，由已知，所以，即，解得，所以x的取值范围是().20(2)因为 .由此可知,上式中只有第三、四、五项的展开式中含有x4项,其系数分别为：.由已知,-330.化简整理,得m2+8m+120,即(m+2)(m+6)0.所以m-2或m-6,故m的取值范围是 (-，-6)(-2，+).211.展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数，解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析.2.二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a、b的取值有关，而二项式系数与a、b的取值无关.223.有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式求解，结合方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围.4.求展开式中的系数和，一般通过对a、b适当赋值来求解；对求非二项式的展开式系数和，可先确定其展开式中的最高次数，按多项式形式设出其展开式，再赋值求系数和.23
