1、第 4 讲直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行(1)定义：如果一条直线和一个平面_公共点，那么这条直线这个平面_(2)判定方法：利用定义；没有平行判定定理：如果平面外的一条直线与_的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；平面内其他方法：如果两个平面平行，则其中一个平面内的_行于另一个平面任一直线(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线平行相交线2平面与平面平行(1)定义：如果两个平面_公共点，那么这两个平面互相_(2)判定方法：利用定义；判定定理：如果一个平面内的两条_直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；其他方法：垂直于_直线的两个平面
2、互相_没有平行相交同一条平行(3)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线_平行1下列命题中，正确命题的个数是()A若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l；若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A1B2C3D42一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()CA异面B相交C平行D不能确定3如图 1341，过平行六面体 ABCDA1B1C1D1 任意两)条棱的中点作直线，其
3、中与平面 DBB1D1 平行的直线共有(图 1341A4 条B6 条C8 条D12 条D4对于平面和共面的直线 m、n，下列命题中假命题是_(填序号)若 m，mn，则 n；若 m，n，则 mn；若 m，n，则 mn；若 m、n 与所成的角相等，则 mn.5给出下面四个命题：过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行；对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等其中正确的命题序号为_.线线、线面、面面平行的判定考点 1例 1：如图 1344，正方体 A
4、BCDA1B1C1D1 中，侧面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1EC1F.求证：EF平面 ABCD.图 1344解题思路：在寻求线线平行时利用中位线性质，等比例截割定理，平行四边形的性质等等来判定证法一：分别过 E、F 作 EMAB 于 M，FNBC 于 N，连接 MN.BB1平面 ABCD，BB1AB，BB1BC.EMBB1，FNBB1.EMFN.又B1EC1F，EMFN.故四边形 MNFE 是平行四边形，EFMN.又 MN平面 ABCD，EF平面 ABCD，EF平面 ABCD.，FGB1C1BC，证法二：过 E 作 EGAB 交 BB1 于 G，连接 GF，则B1E
5、B1GB1A B1BB1EC1F，B1AC1B，C1F B1GC1B B1B又 EGFGG，ABBCB，平面 EFG平面 ABCD.又EF平面 EFG，EF平面 ABCD.(1)证明两个平面平行利用两个平面平行的判定定理及推论，寻找线线平行是关键(2)另外应用判定定理时要注意平面内两条直线的相交性【互动探究】1如图 1345，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，且截面为平行四边形(1)求证：AB平面 EFGH，CD平面 EFGH.(2)若 AB4，CD6，求四边形 EFGH 的周长的取值范围图 1345(1)证明：四边形 EFGH 为平行四边形，EFHG.HG平面 ABD，E
6、F平面 ABD.EF平面 ABC，平面 ABD平面 ABCAB，EFAB.AB平面 EFGH.同理可证，CD平面 EFGH.(2)解：设 EFx(0 x4)，四边形 EFGH 为平行四边形，例 2：如图 1346，平面平面，点 A，C，点B，D，点 E、F 分别在线段 AB、CD 上，且 AEEBCFFD.(1)求证：EF；(2)若 E、F 分别是 AB、CD 的中点，AC4，BD6，且AC、BD 所成的角为 60，求 EF 的长考点 2 线线、线面、面面平行的性质的应用图 1346解题思路：先利用面面平行判定定理证得平面 EFG，再利用平行平面性质证得 EF.解析：(1)证明：当 AB、CD
7、 在同一平面内时，由，平面平面 ABDCAC，平面平面 ABDCBD，知 ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又 EF，BD，EF；当 AB 与 CD 异面时，设平面 ACDDH，且 DHAC.如图 1347.，平面 ACDHAC，ACDH，四边形 ACDH 是平行四边形在 AH 上取一点 G，使 AGGHCFFD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH.又 EGGFG，平面 EFG平面.EF平面 EFG，EF.综上，EF.图 1347图 1348(2)解：如图 1348，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接ME、MF.E、F 分别为 AB、CD 的中点，MEBD，MFAC，面面平行的性质
8、定理包括：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一平面【互动探究】2设 m、n 是平面内的两条不同直线，l1、l2 是平面内的两条相交直线且、互不相同，则的一个充分而不必要条件是()Am且 l1Cm且 nBml1 且 nl2Dm且 nl2B解析：若 ml1，nl2，m、n，l1、l2，则可得.若,则存在相交直线 l1、l2，ml2，nl1.l、m 是异面直线，l，m，且 nl，nm，则 n；若 l，m，则 lm；若 l，m，lmA，l，m，则.其中为假命题的是()ABC
9、D误解分析：此题常犯的错误是从面面平行跳过线面平行而直接就推出线线平行，所以需特别注意由面面平行推出线线平行时一般需构造第三平面正解：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，但命题中没有说明直线 l 与 m 是共面的故选 C.错源：面面平行“直接推出”线线平行例 3：给出下列关于互不相同的直线 m、n、l 和平面、的四个命题：m，lA，Am，则 l 与 m 不共面；【互动探究】3设 m、n 是两条不同的直线，、是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n，则 mn；若，m，则 m；若 m，n，则 mn；若，则.其中正确命题的序号是()ABCD解析：显然正确，中 m 与 n
10、可能相交、平行或异面，考虑长方体的顶点，与可以相交APC、PD、BC 的中点现将PDC 折起，使平面 PDC平面ABCD，如图 1349(2)在图 1349(2)中，(1)求证：AP平面 EFG；(2)求二面角 GEFD 的大小图 1349例4：如图 1349(1)，在直角梯形 ABCP 中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2，E、F、G 分别是线段解题思路：折叠问题的解题关键在于分析好两种关系，即翻折前后哪些位置关系和度量关系发生变化，哪些没有改变图 13410又由三角形中位线定理知 MFPA，AP平面 EFG.解析：(1)如图 13410，取 AD 中点 M，连接 FM、MG.由
11、条件知 EFDCMG，E、F、M、G 四点共面(2)由条件知，CDAD，CDPD，CD平面 PAD.又 EF 为三角形 PCD 的中位线，EFCD，EF平面 PAD，即 DPEF，MFEF.MFD 为二面角 GEFD 的平面角.在 RtFDM 中，易知 DMDF1.MFD45，即二面角 GEFD 的大小为 45.折叠问题中，要抓住位于同一半平面内的图形相对位置关系和度量关系均不变的规律【互动探究】4如图 13411，B 为ACD 所在平面外一点，M、N、G 分别为ABC、ABD、BCD 的重心(1)求证：平面 MNG平面 ACD；图 13411(1)证明：连接 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H.M、N、G 分别为ABC、ABD、ACD 的重心，连接 PF、FH、PH，有 MNPF.又 PF平面 ACD，MN平面 ACD，MN平面 ACD.同理，MG平面 ACD，又 MGMNM,平面 MNG平面 ACD.平行关系是指空间两直线、直线和平面、平面与平面平行的位置关系解决这类问题的关键在于熟练掌握“线线、线面、面面”之间的平行关系的概念、判定定理和性质定理，熟悉各种必要辅助线的作法，如构造中位线、构造平行四边形、见到比例构造相似、已知线面平行或面面平行要作辅助面等等
