1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n()A6B7C8D9答案B解析本题主要考查二项式定理中二项展开式的通项公式的应用二项式(13x)n展开式的通项公式为Tr13rCxr，x5与x6的系数分别为35C，36C.由条件知：35C36C，即C3C，3，n7，选B.2若二项式(2x)7的展开式中的系数是84，则实数a()A2 B. C1 D.答案C解析二项式(2x)7的通项公式为Tr1C(2x)7r()rC27rarx72r，令72r3，得r5.故展开式中的系数是C22a584，解得a1.3已知8展开式中常数项为112
2、0，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38 C1或38 D1或28答案C解析Tr1Cx8rrC(a)rx82r.当r4时，Tr1为常数项，此时T5C(a)470a41120.a2.令x1，则8(12)81或38.故选C.4233除以9的余数是()A1 B2 C4 D8答案D解析233811(91)11911C910C91，余数为8.故选D.5若9nC9n1C9C是11的倍数，则自然数n为()A偶数 B奇数C3的倍数 D被3除余1的数答案B解析原式(91)n1110n11是11的倍数，10n11是99的倍数，n为奇数故选B.6在(1x)11的展开式中，含x奇次幂的各项系数的
3、和是()A210 B210C211 D211答案A解析令f(x)(1x)11a0a1xa11x11，f(1)a0a1a110，f(1)a0a1a11211，f(1)f(1)2(a1a3a11)211.含x奇次幂的系数的和为a1a3a11210.故选A.7(12x)2(1x)5a0a1xa7x7，则a1a2a3a4a5a6a7等于()A32 B32 C33 D31答案D解析令x0，得a01.令x1，得25a0a1a2a3a4a5a6a7，a1a2a3a4a5a6a712531.二、填空题85的展开式中x8的系数是_(用数字作答)答案解析由二项式定理得Tr1Cr5(x3)r()5rCr5x3r5r
4、xCr5()5rx当r8时，易得r3，故x8系数为C()2.9设(2x)4a0a1xa4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为_答案1解析(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)，在(2x)4a0a1xa4x4中，令x1，得a1a1a2a3a4(2)4；令x1，得a0a1a2a3a4(2)4，由此得(2)4(2)41.三、解答题10在8的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项解析(1)设第r1项系数的绝对值最大，即从而有5r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项(2)
5、二项式系数最大的项为中间项，即为第5项T5C()44.(3)由(1)知展开式中的第6项及第7项的系数绝对值最大，而第6项系数为负，第7项的系数为正则系数最大的项为T7C()26.(4)系数最小的项为T6C()3517921 792x.一、选择题1在(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为2，公差为3的等差数列的第几项()A13 B18 C11 D20答案D解析含x4项的系数为CCCC155.设它为等差数列的第k项，则23(k1)55.k20.故选D.2若a为实数，且(ax)2015的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2015项为()A. BC. D答案C解析由条件知
6、，(a1)20151，a11，a2.展开式的第2015项为：T2015C(2x)()20142Cx2013，故选C.3若(1a)(1a)2(1a)3(1a)nb0b1ab2a2bnan，且b0b1b2bn30，则自然数n的值为()A3 B4 C5 D6答案B解析令a1得：b0b1b2bn222232n2n1230.2n132.n4.故选B.二、填空题4已知C2C22C23C2nC729，则CCCC_.答案63解析逆用二项式定理，得C2C22C23C2nC(12)n3n729.即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.5若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a
7、5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析本题考查二项式定理的展开式x5(x1)15(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)0，a3C10.适当的变形将问题简化三、解答题6已知(2x3)7a0(x1)7a1(x1)6a6(x1)a7.(1)求a0a1a2a7；(2)求a0a7.解析(1)令x2，得a0a1a2a7(43)71.(2)令x1，得a7(213)71，x7的系数a0C27(3)0128，a0a7129.7已知n的展开式中偶数项的二项式系数的和比(ab)2n展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的第三项解析(ab)2
8、n展开式中奇数项的二项式系数的和为22n1，n展开式中偶数项的二项式系数的和为2n1.依题意，有2n122n1120，即(2n)22n2400.解得2n16，或2n15(舍)n4.于是，第一个展开式中第三项为T3C()226.8已知(1m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1m)n(1x)的展开式中含x2项的系数解析(1)由题意可得2n256，解得n8.含x项的系数为Cm2112，解得m2，或m2(舍去)故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8所以含x2的系数为C24C221008.