1、天津一中2020-2021-2高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟第卷为第1页，第卷为第2-3页考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效祝各位考生考试顺利!第卷一选择题：（每小题4分，共32分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2已知命题，总有，则命题p的否定为（ ）A，使得 B，使得C，使得 D，使得3已知函数则（ ）A B C D4已知，则a，b，c的大小关系是（ ）A B C D5函数的图象大致为（ ）A B C D6某学校举办冰雪知识竞赛，甲乙两人分别从速度
2、滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架雪车，跳台滑雪，冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有（ ）种A180 B225 C200 D4007已知函数，对于实数a，使减成立的一个必要不充分条件是（ ）A B C D或8已知函数，则以下结论正确的是（ ）在上为增函数当时，方程有且只有3个不同实根的值域为若，则A B C D第卷二填空题：（每小题4分，共24分）9已知复数z满足（i为虚数单位），则_10函数在处取得极值，则a的值为_11的展开式中，项的系数是_12已知定义在R上的函数满足，当时，则_13已知，且，则的最小值为_14若函数在区间有三个不同的零点，则实数m的取值
3、范围是_三解答题：（本大题共4小题共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15某学习小组有6名同学，其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2名同学曾经参加过数学研究性学习活动（）现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（）若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数X是一个随机变量，求随机变量X的分布列及均值16已知函数（）求函数的单调区间；（）求函数的极值；（）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围17如图，在三棱柱中，平面，点D，E分别在棱和棱上，且
4、，M为棱的中点（）求证：；（）求平面角与平面的夹角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值18已知函数（）若函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值；（）若函数在R上是单增函数，求实数a的取值范围；（）如果恰有两个不同的极值点，证明参考答案一、选择题1B 【解析】【分析】求出集合M，N后可得它们的交集【详解】，故故选：B【点睛】本题考查集合的交运算以及一元一次不等式一元二次不等式的解，考虑集合运算时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图象2B3C 【解析】【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案【详解】由题意可知，故选：C4D 【解析】解：，且，
5、故选：D5B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性排除A，D再根据，排除C即得解【详解】解：根据题意，其定义域R，有，则函数为偶函数，排除A，D，排除C，故选：B【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证6A 【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析，利用分步乘法原理求解【详解】解：根据题意，分2步进行分析：在六个门类中选出2类，作为甲乙共同选择的科目，有种选法，甲乙从剩下的4类中，任选2个，有种选法则有种选法，故选：A【点睛】方法点睛：排列组合的实际应用题常用的解法有：简单问题原理法相邻问题捆绑法不相邻问题插空法小数问题列举法至少问题间接法复杂问题分类法等概率问题缩倍法，要
6、根据已知条件灵活选择方法求解7C 解析】【分析】先利用导数法判断在R上是增函数，再将，转化为求解【详解】当时，则，所以是增函数，当时，是增函数，又，所以函数在R上是增函数，因为，所以，所以，即，解得，所以使成立的一个必要不充分条件是，故选：C8D 【解析】解：对于A：当时，单调递增，当时，单调递增，当时，作出函数图像可得：所以在时，单调递增，故A不正确；对于B当时，过点，所以当时，与有两个交点，当时，令，即，解得，此时与的交点为，综上，与有三个交点，即有三个实数根，故B正确；对于C：当时，结合图像可得的值域为，故C正确；对于D：若，则或，当时，即为，恒过点，设过与相切的切线的切点为，所以解得，
7、所以当时，的k的取值范围为，当时，即，设过点与相切的切线的切点为，所以，解得，所以当时，的k的取值范围为，综上所述，k的取值范围为，故D正确故选：BCD二填空题：9 101156 【解析】解：的展开式中，通项公式为，令，可得项的系数是12 【解析】【分析】依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得和，进而可得到结果【详解】函数满足：，可得：对，都有，函数的周期，由得，故答案为：【点睛】结论点睛：定义在R上的函数，若存在非零常数a，使得对，都有，则函数的周期，134 【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解【详解】，当且仅当时取等号，结合，解得，或时，等
8、号成立故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题14 【解析】【分析】利用导数可求得在上的单调性极值和最值，由零点个数可确定大致图象，由此可得不等关系，解不等式可求得结果【详解】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，则在区间有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示：，解得，即实数m的取值范围为【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）
9、分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题三解答题15【解析】（1）记“恰好选到1名曾经参加过数学硏究性学习活动的同学”为事件A，则故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为（2）依题意，随机变量的取值可能为2，3，4则，故随机变量的分布列为234P16（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）极小值为，极大值为；（3）【解析】试题分析：（1）先求出的定义域，然后求，再分别令去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数的极值，（3）由题意知恒成立，整理得，然后构造函数，求其最大值即可试题解析：（1），定义域为R， 1分令，令令，得，得，或所以函数的单调
10、增区间为，单调减区间为（2）由（1）可知，当时，函数取得极小值，函数的极小值为当时，函数得极大值，函数的极大值为（3）若，不等式恒成立，即对于任意，不等式恒成立，设，则，恒成立，在区间单调递增，a的取值范围是考点：利用求函数的极值单调区间，利用参变量分离构造函数求参数的取值范围17（）证明见解析；（）；（）【解析】【分析】以C为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（）利用空间向量法可求得直线与平面所成
11、角的正弦值【详解】依题意，以C为原点，分别以的方向为x轴y轴z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的个法向量，于是所以，直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考査利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考査推理能力与计算能力，属于中档题18【解析】（1），于是由题知，解得，于是，解得即（2）由题意即恒成立，恒成立设，则x0-0+减函数极小值增函数，（3）由已知是函数的两个不同极值点（不妨设），若时，即是R上的增函数，至多有一个极值点与已知矛盾，且，两式相减得：，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证，令即证不等式，当时恒成立设，由（2）知，即，得证
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