1、2021年全国统一高考数学试卷（新高考）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）若全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，3，6，B2，3，4，则AUB（）A3B1，6C5，6D1，33（5分）若抛物线y22px（p0）的焦点到直线yx+1的距离为，则p（）A1B2C2D44（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星
2、到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S2r2（1cos）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A26%B34%C42%D50%5（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A20+12B28CD6（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，2），则下列结论中不正确的是（）A越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
3、C该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等7（5分）已知alog52，blog83，c，则下列判断正确的是（）AcbaBbacCacbDabc8（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）Af（）0Bf（1）0Cf（2）0Df（4）0二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）（多选）9（5分）下列统计量中，能度量样本x1，x2，xn的离散
4、程度的有（）A样本x1，x2，xn的标准差B样本x1，x2，xn的中位数C样本x1，x2，xn的极差D样本x1，x2，xn的平均数（多选）10（5分）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MNOP的是（）ABCD（多选）11（5分）已知直线l：ax+byr20与圆C：x2+y2r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（）A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切（多选）12（5分）设正整数na020+a121+ak12k1+ak2k，其中ai0，1
5、，记（n）a0+a1+ak，则（）A（2n）（n）B（2n+3）（n）+1C（8n+5）（4n+3）D（2n1）n三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）13（5分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率e2，则该双曲线的渐近线方程为 14（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）： f（x1x2）f（x1）f（x2）；当x（0，+）时，f（x）0；f（x）是奇函数15（5分）已知向量+，|1，|2，则+ 16（5分）已知函数f（x）|ex1|，x10，x20，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1）和点B（x2，f（x2）的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N
6、两点，则的取值范围是 四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）17（10分）记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5，a2a4S4（）求数列an的通项公式an；（）求使Snan成立的n的最小值18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，ba+1，ca+2（）若2sinC3sinA，求ABC的面积；（）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19（12分）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA，QC3（）求证：平面QAD平面ABCD；（）求二面角
7、BQDA的平面角的余弦值20（12分）已知椭圆C的方程为+1（ab0），右焦点为F（，0），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2b2（x0）相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|21（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（Xi）pi（i0，1，2，3）（）已知p00.4，p10.3，p20.2，p30.1，求E（X）；（）设p表示该种微生物经过多代繁殖后
8、临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3x的一个最小正实根，求证：当E（X）1时，p1，当E（X）1时，p1；（）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义22（12分）已知函数f（x）（x1）exax2+b（）讨论f（x）的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点a，b2a；0a，b2a2021年全国统一高考数学试卷（新高考）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代
9、数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案【解答】解：，在复平面内，复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限故选：A2（5分）若全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，3，6，B2，3，4，则AUB（）A3B1，6C5，6D1，3【分析】先利用补集的定义求出UB，再利用交集的定义求解即可【解答】解：因为全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，3，6，B2，3，4，所以UB1，5，6，故AUB1，6故选：B3（5分）若抛物线y22px（p0）的焦点到直线yx+1的距离为，则p（）A1B2C2D4【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：抛物线y22px（p0
10、）的焦点（，0）到直线yx+1的距离为，可得，解得p2故选：B4（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S2r2（1cos）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A26%B34%C42%D50%【分析】由题意，地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
11、求解cos，根据卫星信号覆盖的地球表面面积可得S占地球表面积的百分比【解答】解：由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，则OP36000+6400424000，那么cos；卫星信号覆盖的地球表面面积S2r2（1cos），那么，S占地球表面积的百分比为42%故选：C5（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A20+12B28CD【分析】过A作AEA1B1，得A1E1，AE连接AC，A1C1，过A作AGA1C1，求出A1G，从而AG，由此能求出正四棱台的体积【解答】解：如图ABCDA1B1C1D1为正四棱台，AB2，A1B14，AA12在等腰梯形A
12、1B1BA中，过A作AEA1B1，可得A1E1，AE连接AC，A1C1，AC，A1C14，过A作AGA1C1，A1G，AG，正四棱台的体积为：V故选：D6（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，2），则下列结论中不正确的是（）A越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等【分析】利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：因为某物理量的测量结果服
13、从正态分布N（10，2），所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差2越小，则分布越集中，对于A，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大，故选项A正确；对于B，测量结果大于10的概率为0.5，故选项B正确；对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；对于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的区域大于（10，10.3）分布在10附近的区域，故测量结果落在（9.9，10.2）内的概率大于落在（10，10.3）内的概率，故选项D错误故选：D7（5分）已知al
14、og52，blog83，c，则下列判断正确的是（）AcbaBbacCacbDabc【分析】可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系【解答】解：，acb故选：C8（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）Af（）0Bf（1）0Cf（2）0Df（4）0【分析】根据f（x+2）为偶函数，可得f（x+4）f（x），f（2x+1）为奇函数，可得f（2x+1）f（2x+1），即可判断选项【解答】解：函数f（x+2）为偶函数，f（2+x）f（2x），f（2x+1）为奇函数，f（12x）f（2x+1），用x替换上式中2x+1，得f（2x）f（x），f（2+x）f
15、（x），f（4+x）f（2+x）f（x），即f（x）f（x+4），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，f（2x+1）为奇函数，f（12x）f（2x+1），即f（2x+1）+f（2x+1）0，用x替换上式中2x+1，可得，f（x）+f（2x）0，f（x）关于（1，0）对称，又f（1）0，f（1）f（1+4）f（3）f（1）0故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）（多选）9（5分）下列统计量中，能度量样本x1，x2，xn的离散程度的有（）A样本x1，x2，xn的标准差B样本x
16、1，x2，xn的中位数C样本x1，x2，xn的极差D样本x1，x2，xn的平均数【分析】利用中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义分析求解即可【解答】解：中位数是反应数据的变化，方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差故选：AC（多选）10（5分）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MNOP的是（）ABCD【分析】对于A，设正方体棱长为2，设MN与OP所成角为，求出tan，从而不满足MNOP；对于B，C，D，作出
17、平面直角坐标系，设正方体棱长为2，利用向量法进行判断【解答】解：对于A，设正方体棱长为2，设MN与OP所成角为，则tan，不满足MNOP，故A错误；对于B，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则N（2，0，0），M（0，0，2），P（2，0，1），O（1，1，0），（2，0，2），（1，1，1），0，满足MNOP，故B正确；对于C，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则M（2，2，2），N（0，2，0），O（1，1，0），P（0，0，1），（2，0，2），（1，1，1），0，满足MNOP，故C正确；对于D，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则M（0，2，2），N（0，
18、0，0），P（2，1，2），O（1，1，0），（0，2，2），（1，0，2），4，不满足MNOP，故D错误故选：BC（多选）11（5分）已知直线l：ax+byr20与圆C：x2+y2r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（）A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可【解答】解：点A在圆C上，a2+b2r2，圆心C（0，0）到直线l的距离为r，直线与圆C相切，故A选项正确，点A在圆C内，a2+b2r2，圆心C（0，0）到直线l的距离为
19、r，直线与圆C相离，故B选项正确，点A在圆C外，a2+b2r2，圆心C（0，0）到直线l的距离为r，直线与圆C相交，故C选项错误，点A在直线l上，a2+b2r2，圆心C（0，0）到直线l的距离为r，直线与圆C相切，故D选项正确故选：ABD（多选）12（5分）设正整数na020+a121+ak12k1+ak2k，其中ai0，1，记（n）a0+a1+ak，则（）A（2n）（n）B（2n+3）（n）+1C（8n+5）（4n+3）D（2n1）n【分析】2na021+a122+ak12k+ak2k+1可判断A；取n2可判断B；把8n+5和4n+3都化成na020+a121+ak12k1+ak2k，可判断
20、C；2n1120+121+12n1可判断D【解答】解：方法1：2na021+a122+ak12k+ak2k+1，（2n）（n）a0+a1+ak，A对；当n2时，2n+37120+121+122，（7）32020+121，（2）0+11，（7）（2）+1，B错；8n+5a023+a124+ak2k+3+5120+122+a023+a124+ak2k+3，（8n+5）a0+a1+ak+24n+3a022+a123+ak2k+2+3120+121+a022+a123+ak2k+2，（4n+3）a0+a1+ak+2（8n+5）C对；2n1120+121+12n1，（2n1）n，D对方法2：根据题意得n
21、（10）akak1a1a0（2），（n）为n的二进制表示下各位数字之和对于选项A，2n在二进制意义下为末尾添0，不改变各位数字之和对于选项B，2n+3是二进制意义下末尾添0，然后加上11（2），可能会改变各位数字之和，如10（2）111（2）对于选项C，8n+5是二进制意义下末尾添101，4n+3是二进制意义下末尾添11，各位数字之和相等对于选项D，（2n1）（10），各位数字之和为n综上所述：选项ACD符合题意故选：ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）13（5分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率e2，则该双曲线的渐近线方程为 yx【分析】根据双曲线离心
22、率为2，列出关于a、b的方程，解之得ba，由双曲线渐近线方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的方程是，双曲线渐近线为y又离心率为e2，可得c2ac24a2，即a2+b24a2，可得ba由此可得双曲线渐近线为y故答案为：y14（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）：f（x）x2f（x1x2）f（x1）f（x2）；当x（0，+）时，f（x）0；f（x）是奇函数【分析】可看出f（x）x2满足这三个性质【解答】解：f（x）x2时，；当x（0，+）时，f（x）2x0；f（x）2x是奇函数故答案为：f（x）x2另解：幂函数f（x）xa（a0）即可满足条件和；偶函数即可满足条件，综
23、上所述，取f（x）x2即可15（5分）已知向量+，|1，|2，则+【分析】+或+或+，三等式两边平方可解决此题【解答】解：方法1：由+得+或+或+，（+）2（）2或（+）2（）2或（+）2（）2，又|1，|2，5+24，5+24，8+21，+故答案为：方法2：+故答案为：16（5分）已知函数f（x）|ex1|，x10，x20，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1）和点B（x2，f（x2）的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是 （0，1）【分析】分别求得x0，x0时，f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和方程，令x0，可得M，N的坐标，再由两直线垂直的条件和两点的距离
24、公式，化简整理，可得所求范围【解答】解：当x0时，f（x）1ex，导数为f（x）ex，可得在点A（x1，1ex1）处的斜率为k1ex1，切线AM的方程为y（1ex1）ex1（xx1），令x0，可得y1ex1+x1ex1，即M（0，1ex1+x1ex1），当x0时，f（x）ex1，导数为f（x）ex，可得在点B（x2，ex21）处的斜率为k2ex2，令x0，可得yex21x2ex2，即N（0，ex21x2ex2），由f（x）的图象在A，B处的切线相互垂直，可得k1k2ex1ex21，即为x1+x20，x10，x20，所以（0，1）故答案为：（0，1）四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出
25、文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）17（10分）记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5，a2a4S4（）求数列an的通项公式an；（）求使Snan成立的n的最小值【分析】（）直接利用等差数列的性质和前n项和的应用求出数列的通项公式；（）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果【解答】解：（）数列Sn是公差d不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5，a2a4S4根据等差数列的性质，a3S55a3，故a30，根据a2a4S4可得（a3d）（a3+d）（a32d）+（a3d）+a3+（a3+d），整理得d22d，可得d2（d0不合题意），故ana3+（n3
26、）d2n6（）an2n6，a14，Sn4n+2n25n，Snan，即n25n2n6，整理可得n27n+60，当n6或n1时，Snan成立，由于n为正整数，故n的最小正值为718（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，ba+1，ca+2（）若2sinC3sinA，求ABC的面积；（）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【分析】（I）根据已知条件，以及正弦定理，可得a4，b5，c6，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，（II）由cba，可推得ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，运用余弦定理可推得a22a30，再结合a0，三角形的任
27、意两边之和大于第三边定理，即可求解【解答】解：（I）2sinC3sinA，根据正弦定理可得2c3a，ba+1，ca+2，a4，b5，c6，在ABC中，运用余弦定理可得，sin2C+cos2C1，sinC，（II）cba，ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，a22a30，a0，0a3，三角形的任意两边之和大于第三边，a+bc，即a+a+1a+2，即a1，1a3，a为正整数，a219（12分）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA，QC3（）求证：平面QAD平面ABCD；（）求二面角BQDA的平面角的余弦值【分析】（）由CD2+QD2QC2证明CDQD，再由CDAD，证明C
28、D平面QAD，即可证明平面QAD平面ABCD（）【解法1】设AD的中点为M，连接QM、BM，求出cosQDB、cosQDA和BDA，再列方程求出二面角BQDA的平面角的余弦值【解法2】取AD的中点O，在平面ABCD内作OxAD，以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ADQ的一个法向量，平面BDQ的一个法向量，再求cos，即可【解答】（）证明：QCD中，CDAD2，QD，QC3，所以CD2+QD2QC2，所以CDQD；又CDAD，ADQDD，AD平面QAD，QD平面QAD，所以CD平面QAD；又CD平面ABCD，所以平面QAD平面ABCD（）解：【解法1】设AD的
29、中点为M，连接QM、BM，如图所示：根据题意知，QM2，BM，QB3，BD2，BQA中，cosQDB，cosQDA，BDA45，因此根据三射线定理知，二面角BQDA的大小满足：cosBDAcosQDBcosQDA+sinQDBsinQDAcos，即+cos，解得cos【解法2】取AD的中点O，在平面ABCD内作OxAD，以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示：则O（0，0，0），B（2，1，0），D（0，1，0），Q（0，0，2），因为Ox平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为（1，0，0），设平面BDQ的一个法向量为（x，y，z），由（2，2，0），
30、（0，1，2），得，即，令z1，得y2，x2，所以（2，2，1）；所以cos，所以二面角BQDA的平面角的余弦值为20（12分）已知椭圆C的方程为+1（ab0），右焦点为F（，0），且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2b2（x0）相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|【分析】（）利用离心率以及焦点的坐标，求出a和c的值，结合a2b2+c2，即可求出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（）先证明充分性，设直线MN的方程，利用圆心到直线的距离公式求出m的值，联立直线与椭圆的方程，求出|MN|即可；再证明必要性，设直线MN的方程，由圆心到直线的距
31、离公式求出m和t的关系，联立直线与椭圆的方程，求出|MN|，得到方程，求出m和t的值，从而得到直线MN必过点F，即可证明必要性【解答】（）解：由题意可得，椭圆的离心率，又，所以a，则b2a2c21，故椭圆的标准方程为；（）证明：先证明必要性，若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为xmy+，则圆心O（0，0）到直线MN的距离为，解得m21，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；下面证明充分性，当|MN|时，设直线MN的方程为xty+s，此时圆心O（0，0）到直线MN的距离，则s2t21，联立方程组，可得（t2+3）y2+2tsy+s230，则4t2s24（t2+3）（s23）12（t2
32、s2+3）24，因为，所以t21，s22，因为直线MN与曲线x2+y2b2（x0）相切，所以s0，则，则直线MN的方程为恒过焦点F（），故M，N，F三点共线，所以充分性得证综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|21（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（Xi）pi（i0，1，2，3）（）已知p00.4，p10.3，p20.2，p30.1，求E（X）；（）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，
33、p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3x的一个最小正实根，求证：当E（X）1时，p1，当E（X）1时，p1；（）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【分析】（）利用数学期望的计算公式求解即可；（）对p0+p1x+p2x2+p3x3x进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数f（x），由二次函数的性质分析证明即可；（）由题中p的含义，分析p1和p1的含义即可【解答】（）解：由题意，p00.4，p10.3，p20.2，p30.1，故E（X）00.4+10.3+20.2+30.11；（）证明：由题意可知，p0+p1+p2+p31，则E（X）p1+2p2+3p3，所以p0+p1x+p2x
34、2+p3x3x，变形为p0（1p1）x+p2x2+p3x30，所以p0+p2x2+p3x3（p0+p2+p3）x0，即p0（1x）+p2x（x1）+p3x（x1）（x+1）0，即（x1）p3x2+（p2+p3）xp00，令f（x）p3x2+（p2+p3）xp0，若p30时，则f（x）的对称轴为，注意到f（0）p00，f（1）2p3+p2p0p1+2p2+3p31E（X）1，若p30时，f（1）E（X）1，当E（X）1时，f（1）0，f（x）0的正实根x01，原方程的最小正实根p1，当E（X）1时，f（1）p1+2p2+3p310，故存在x0（0，1），使得f（x）在（x0，1）上单调递增，f（
35、x0）0，因为p00时，微生物不会灭绝，p0，此时p是f（x）的非负实根，则由E（X）0，可知p00，故f（0）0，所以f（x）在（x0，1）上有零点，故原方程的最小正实根px01；（）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能22（12分）已知函数f（x）（x1）exax2+b（）讨论f（x）的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点a，b2a；0a，b2a【分析】（）对函数f（x）求导，对导数f（x）分a0、a、四种情况讨论，即可求解（2）结合
36、第一问单调性以及零点存在定理来证明f（x）有一个零点【解答】解：（）f（x）（x1）exax2+b，f（x）x（ex2a），当a0时，当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0，f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当a0时，令f（x）0，可得x0或xln（2a），（i）当时，当x0或xln（2a）时，f（x）0，当ln（2a）x0时，f（x）0，f（x）在（，ln（2a），（0，+）上单调递增，在（ln（2a），0）上单调递减，（ii）a时，f（x）x（ex1）0 且等号不恒成立，f（x）在R上单调递增，（iii）当时，当x0或xln（2a）时，f（x）0，当0xln（2a）
37、时，f（x）0，f（x）在（，0），（ln（2a），+）上单调递增，在（0，ln（2a）上单调递减综上所述：当 a0 时，f（x） 在 （，0）上单调递减；在 （0，+）上 单调递增；当 时，f（x） 在 （，ln（2a） 和 （0，+）上单调递增；在 （ln（2a），0）上单调递减；当 时，f（x） 在 R 上单调递增；当 时，f（x） 在 （，0）和 （ln（2a），+） 上单调递增；在 （0，ln（2a） 上单调递减（）证明：若选，由 （）知，f（x） 在 （，0）上单调递增，（0，ln（2a） 单调递减，（ln（2a），+） 上 f（x） 单调递增注意到 f（x） 在 上有一个零点；f
38、（ln（2a）（ln（2a）1）2aaln22a+b2aln（2a）2aaln22a+2aaln（2a）（2ln（2a），由 得 0ln（2a）2，aln（2a）（2ln（2a）0，f（ln（2a）0，当 x0 时，f（x）f（ln（2a）0，此时 f（x） 无零点综上：f（x） 在 R 上仅有一个零点另解：当a（，时，有ln（2a）（0，2，而f（0）b1a10，于是f（ln（2a）（ln（2a）1）2aaln2（2a）+bln（2a）（2ln（2a）+（b2a）0，所以f（x）在（0，+）没有零点，当x0时，ex（0，1），于是f（x）ax2+bf（）0，所以f（x）在（，0）上存在一个零
39、点，命题得证若选，则由（）知：f（x）在 （，ln（2a） 上单调递增，在 （ln（2a），0）上单调递减，在 （0，+） 上单调递增f（ln（2a）（ln（2a）1）2aaln22a+b2aln（2a）2aaln22a+2aaln（2a）（2ln（2a），ln（2a）0，aln（2a）（2ln（2a）0，f（ln（2a）0，当 x0 时，f（x）f（ln（2a）0，此时 f（x） 无零点当 x0 时，f（x） 单调递增，注意到 f（0）b12a10，取，b2a1，又易证 ecc+1，110，f（x）在（0，c）上有唯一零点，即f（x）在（0，+）上有唯一零点综上：f（x） 在 R 上有唯一零点声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/8 16:32:30；用户：一中；邮箱：52405；学号：41470688
