1、20102011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科网1已知命题， 则: .2“”是“直线与圆 相交”的 条件。（充分而不必要条件 、必要而不充分条件、充分必要条件、 既不充分也不必要条件）3. 函数，的单调递增区间是 4. 有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。 其中真命题的个数是_.5若，则 等于 6已知数列an的前n项和，则数列an成等比数列的充要条件是r 7计算 8观察下列等式：,，根据
2、上述规律，第五个等式为 _ _.9已知复数满足=2，则的最大值为 10设，则 .11已知函数在处有极大值，则= 。12. 已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f(1)= .图一第13题图图二13已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .二、解答题15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位（）求复数；（）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围16（本小题满分14分）已知p：
3、，q： 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围； 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围17. (本题满分15分) 已知a、b（0，+），且a+b=1,求证：(1) ab (2)+8; (3) + . (5分+5分+5分)18. (本题满分15分)已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分)（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分)19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地
4、点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分)（ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) A B C x （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位
5、置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分)20（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直(1) 求实数的值； (6分)(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值； (5分)(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？ (5分)20102011学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科网1已知命题， 则: .答案: 2“”是“直线与圆 相交”的 条件。（充分而不必要条件 、必要而不充分条件、充
6、分必要条件、 既不充分也不必要条件）答案 充分而不必要条件3. 函数，的单调递增区间是 答案：4. 有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。 其中真命题的个数是_.答案:_1_5若，则 等于 答案: 0 6已知数列an的前n项和，则数列an成等比数列的充要条件是r 答案: r = -17计算 答案：-18观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _ _.【答案】9已知复数满足=2，则的最大值为 答案：710设，则 .答案：11已知函数在处有极大值，则= 。答案：61212. 已知函数f(
7、x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则f(1)= .答案: 2 来源:Z#xx#k.Com13已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 图一第12题图图二答案：14.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 .答案：或 解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，二、解答题15.（本小题满分14分）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位（）求复数；（）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围15（本
8、题满分14分）解：（1）设由z2i为实数知3分同理可算得 6分所以 7分（2）10分而它在复平面上对应的点在第一象限，所以满足 12分解得 14分16（本小题满分14分）已知p：，q： 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围； 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围16、(本题14分)解：，： 2分是的充分不必要条件，是的真子集 4分 7分实数的取值范围为 8分“非”是“非”的充分不必要条件，是的充分不必要条件 10分 13分实数的取值范围为 14分17. (本题满分15分) 已知a、b（0，+），且a+b=1,求证：(1) ab (2)+8; (3) + . (5分+5分+
9、5分)证明 (1) 由 a、b（0，+），得ab4.（当且仅当a=b=时取等号）(2)+8,+8.(3)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2=，a2+b2. + =a2+b2+4+4+8=,+ .-13分（当且仅当a=b=时取等号） -15分18. (本题满分15分)已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (7分)（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. (8分)（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，
10、S3=，S4=， 6分猜想Sn=（nN*）. 7分（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+， ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立. 13分又ak+1=，an=. 15分19.（本小题满分16分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为
11、x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分)（ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域. (5分) A B C x （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？ (6分)解:（1）（i）由题意知,
12、 AC=, BC=, -2分其中 当时，y=0.065 , 所以k=9所以 -3分（ii）如图,由题意知ACBC, -7分其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为-10分（2）（i）-4分当且仅当 即当AC时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. -16分（ii）,令得,所以,即, 当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数-14分.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. -16分解法二: （1）同上.（2）设,则,所以 -10分当且仅当即时取”=”.所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. -1
13、6分20（本小题满分16分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直(1) 求实数的值；(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？20（1）当时， 2分由题意得：，即， 4分解得：。 6分（2）由（1）知：当时，解得；解得或在和上单减，在上单增，由得：或， 7分，在上的最大值为。 当时，当时，；当时，在单调递增；在上的最大值为。 -9分当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为。 11分（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。是以为直角顶点的直角三角形，即 （*） 13分是否存在等价于方程（*）是否有解。若，则，代入方程（*）得：，即：，而此方程无实数解，从而， ，代入方程（*）得：，即：， 设，则在恒成立，在上单调递增，从而，则的值域为。当时，方程有解，即方程（*）有解。对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。 16分版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()