1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 四十九椭圆的概念及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.【加固训练】椭圆+=1的左焦点为F1
2、,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则|PF1|=()A.B.C.6D.73【解析】选A.因线段PF1的中点M在y轴上,故可知P,即P,所以|PF1|=10-=.2.已知椭圆+=1(ab0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a=5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点
3、为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为()A.B.1C.2D.4【解题提示】由圆的半径可求出m的值,再由直线l与圆相切可求出c的值,进而得出a的值.【解析】选C.圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m0,m2+12mm(m0),所以a2=m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,e2=1-=1-1-=,所以eb0)与-=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆+=1(ab0)与-=1
4、(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2,因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=,n2=+,所以+=c2,化为=,所以e=.【加固训练】(2016南昌模拟)设椭圆+=1(ab0),右焦点为F(c,0)(c0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2外C.必在圆x2+y2=1外D.必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解析】选D.在椭圆中有a2=b2+c2,由方程ax2+bx-c=0的根与
5、系数之间的关系有:x1+x2=-,x1x2=-,+=(x1+x2)2-2x1x2=+2=1-e2+2e=2-(e-1)2,又0e1,所以1+b0).因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,即+=1.由得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=17.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.【解析】|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知M点在椭圆外,连接MF2并延长交椭
6、圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+=15.答案:158.(2016菏泽模拟)椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.【解析】由直线方程为y=(x+c),知MF1F2=60,又MF1F2=2MF2F1,所以MF2F1=30,MF1MF2,所以|MF1|=c,|MF2|=c,所以|MF1|+|MF2|=c+c=2a.即e=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为
7、F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1,所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4x04).所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,所以4m4,所以m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1m4.10.如图,在平面直角坐标系x
8、Oy中,F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)由题意,F2(c,0),B(0,b),|BF2|=a=,又C,所以+=1,解得b=1.所以椭圆方程为+y2=1.(2)直线BF2的方程为+=1,与椭圆方程+=1联立组成方程组,解得A点坐标为,则C点坐标为,=.又kAB=-,由F1CAB得=-1,即b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化简得e=.(20分
9、钟40分)1.(5分)(2016潍坊模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=,设长方体的截面四边形ABC1D1的内切圆圆心为O,圆O的正视图是椭圆O,则椭圆O的离心率等于()A.B.C.D.【解析】选B.根据题意,画出图形,如图所示:椭圆O的长轴长为2a=AB=2,短轴长为2b=AA1=,所以a=1,b=,所以c=,所以离心率为e=.【加固训练】(2016烟台模拟)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=.
10、mx2+4y2=4m可化为+=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有=,所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有=,所以m=;当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为-=1,有=2,所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.2.(5分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为F1,左焦点为F2,若椭圆上存在一点P,满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF1的中点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示,设线段PF1与圆切于点M,则|OM|=b,|OF1|=c,故|MF1|=,所以|PF1|=2|MF1|=2.又O为F1F2的中点,M为PF1的中点,所以|P
11、F2|=2|OM|=2b.由椭圆的定义,得2+2b=2a,即=a-b,即=a-,即=1-,两边平方,整理得3e2-3=-2,再次平方,整理得9e4-14e2+5=0,解得e2=或e2=1(舍去),故e=.3.(5分)如图,OFB=,ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为.【解析】设标准方程为+=1(ab0),由题可知,|OF|=c,|OB|=b,所以|BF|=a,因为OFB=,所以=,a=2b.SABF=|AF|BO|=(a-c)b=(2b-b)b=2-,所以b2=2,所以b=,所以a=2,所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1【加固训练】已知椭圆+=1(a
12、b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则椭圆的离心率的取值范围为.【解析】依题意及正弦定理,得=(注意到P不与F1F2共线),即=,所以-1=,所以=+1,即e+1,所以(e+1)22.又0e1,因此-1eb0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.【解析】(1)由题意知,b=.因为离心率e=,所以=.所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设M,N的
13、坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.联立解得x=,y=,即T.由+=1,可得=8-4.因为+=1,所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.【一题多解】解答本题(2)还可以用如下方法:由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.设T(x,y),联立解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1.整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.5.(13分)已知椭圆C:x2+2
14、y2=4.(1)求椭圆C的离心率.(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.【解析】(1)由题意得,椭圆C的标准方程为+=1,所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为+4(04),且当=4时等号成立,所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.关闭Word文档返回原板块
