1、3 函数的单调性11.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思.2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间.3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性.2建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质函数的单调性引入新课3画出下列函数的图像，观察其变化规律：1、从左至右图像上升还是下降?_2、在区间_上，随着x的
2、增大，f(x)的值随着_ f(x)=x(-,+)增大上升41.在区间_上，f(x)的值随着x的增大而_2.在区间_上，f(x)的值随着x的增大而_.f(x)=x2(-,0(0,+)增大减小画出下列函数的图像，观察其变化规律：5-212345-23-3-4-5-1-112如图，你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗？怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？6在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的1增函数72减函数在函数y=f(x)的
3、定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的83.单调区间，单调性，单调函数如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的，那么称A为单调区间.如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.91.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时
4、,总有f(x1)f(x2)，分别是增函数和减函数.10例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.解:（-，0）和（0，+）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减小的.11证明:设x1,x2是(0(0，+)+)上任意两个实数，且x10,又由x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).12例2 证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数,且则:在R上是增函数.131.任取x1，x2A，且x1x2；2.作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单
5、调性）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：14注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点.151.如图,已知y=f(x)的图像(包括端点),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.12-2-1-11o-2,-1,0,1上是减函数;-1,1,1,2上是增函数.162.函数y=x-2的单调减区间是_.（-，2）（1，+）3.函数的单调增区间是_.17证明：根据单调性的定义，设是定义域上的任意两个实数，且4.物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之.18即19讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设是给定区间内的任意两个值，且作差并将此差变形(要注意变形的程度).判断的正负（说理要充分）.根据的符号确定其增减性.20
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