1、数学试题 第 页（共 页）年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数 学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的集合，则 ，为虚数单位，若 ，则实数 若向量 （，），（，），则“”是“（）”的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件若，且 ，则
2、 的最小值为 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字小于 的概率为 如图，在 中，若在此三角形内挖去一个以 为圆心、圆弧与 相切的扇面，则图中阴影部分绕直线 旋转一周所得几何体的表面积为数学试题 第 页（共 页）$#已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为 若存在直线 与椭圆交于不同的两点，的重心为，则 的斜率的取值范围是（，
3、），）（，），）&0%#$#$%现有一个帐篷，下部分的形状是高为 的正六棱柱，上 部 分 的 形 状 是 侧 棱 长 为 的 正 六 棱 锥，如 图 当 该 帐 篷 的 体 积 最 大 时，直 线 与 底 面 所成角的正弦值为 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分#$&ZY0%某兴趣小组研究光照时长（）和向日葵种子发芽数量（颗）之间的关系，采集 组数据，作如图所示的散点图若去掉（，）后，下列说法正确的是相关系数 变小决定系数 变大残差平方和变小解释变量 与预报变量 的相关性变强已知函数（）（）（，
4、）在一个周期内的图象如图，则ZY0（）（）点（，）是一个对称中心（）的单调递减区间是，（）把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，可得（）的图象一口袋中有除颜色外完全相同的 个红球和 个白球，从中无放回的随机取两次，每次取 个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个是白球则事件，为互斥事件事件，为独立事件（）（）数学试题 第 页（共 页）设定义在 上的函数（）与（）的导函数分别为（）和（），若（）（），（）（），且（）为奇函数，则，（）（）（）（）（）（）三、填空题：本题共 小题，每小题
5、分，共 分已知（）的展开式中二项式系数和为，则 的系数为 （用数字作答）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如下表：根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，则 “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于同余的问题现有这样一个问题：将正整数中能被 除余 且被 除余 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则其前 项和 已知双曲线 的左、右焦点分别为，过右焦点 且倾斜角为 的直线 与该双曲线交于，两点（点 位于第一象限），的内切圆 的半径为，的内切圆 的半径为，则点 的横坐标为 ，（第一空 分，第二空 分）四、解答题：本题共 小题，
6、共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（分）已知数列的前 项和为，（）求的通项公式；（）从下面两个条件中选择一个作为条件，求数列的前 项和 （）；（）注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（分）记 的内角，所对的边分别为，已知 （）证明：；（）若 ，求 的取值范围#%$&1（分）如图，在 中，为 的中点 沿 将折起，点 在线段 上，如图数学试题 第 页（共 页）（）若 ，证明：平面；（）若平面 平面，是否存在点，使得平面 与平面 的夹角为？若存在，求点 的位置；若不存在，说明理由（分）甲流和普通感冒都属于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最强的一种流感，在医学检测中发现未
7、接种过流感疫苗者感染该病毒的比例较大某医院选取 个有感冒症状的就诊患者作为样本，统计了感染甲流病毒的情况，得到下面的列联表：接种流感疫苗与否 人数感染甲流病毒未感染甲流病毒未接种流感疫苗接种流感疫苗 （）根据小概率值 的独立性检验，判断感染甲流病毒与接种流感疫苗是否有关？（）以样本中感染甲流病毒的频率估计概率，现从该医院所有感冒症状就诊者中随机抽取 人进行感染甲流病毒人数统计，求至多有 人感染甲流病毒的概率；（）该医院某病房住有 位甲流密切接触的病人，医院要对该病房的人员逐一进行甲流病毒检测，若检测结果出现阳性，则该病房人员全部隔离假设该病房每位病人检测结果呈阳性的概率均为（）且相互独立，记该
8、病房至少检测了 位病人才确定需要隔离的概率为（），求当 为何值时，（）最大？附：（）（）（）（）（）（）（分）设抛物线：（）的焦点为，点（，），过 的直线 交 于，两点当直线 垂直于 轴时，（）求 的方程；（）若线段 的垂直平分线交 于，两点，且，求直线 的方程（分）已知函数（），（）（），（）（），（）（），（），（）（）（）求函数（）的单调递减区间；（）若（）（）（），且 ，证明：当（，）时，数学试题答案 第 页（共 页）年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情
9、赋分二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分 三、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分 四、解答题：本
10、题共 小题，共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解：（）当 时，得 分 ，（），两式相减得 ，即 ，分化简得（），分 是首项为，公比为 的等比数列，分 分（）若选条件，则 （），（），分 （）（），分 （）（）分（）（）数学试题答案 第 页（共 页）（），分 （）分若选，则 （）（）（）（），分 （）（）（）分 （）分证明：（）在 中，由 得，分由正弦定理得：，分又（），（）（），分 ，即 ，（），分 （），分（），即 ；分（）解：由 ，得 ，分 ，分由 及正弦定理 ，得 ，分（）（），分 ，（），即，即 的取值范围为（，）分解：（）如图，连接 与 交于点，连接，分又 ，分数学试题答案
11、 第 页（共 页），分 平面，平面，平面 分#2%$&1#YZ%$&01（）设 中点为，作 交 于，分以，分别为，轴建空间直角坐标系，如图 则（，），（，），（，），（，），（，），分（，）（，）（，）（，），（，），（，），（，），分设平面 法向量为（，），则 ，令 ，得 ，（，），分设（），（，）（，），（，），分设平面 法向量为 （，），则 （）（），取 （），则 ，（），），分，（）（）（）（），分 ，解得 或 （舍去）数学试题答案 第 页（共 页）当 时，此时 为 中点，平面 与平面 夹角为 分解：（）假设为：感染甲流病毒与接种流感疫苗无关，由列联表可知 的观测值（）（）（）（）（）
12、（），分根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为感染甲流病毒与接种流感疫苗有关 分（）由题意得，该医院所有感冒症状中感染甲流病毒的概率为 ，分设随机抽取的 人中至多有 人感染甲流病毒为事件，则（）（）（）（）（）；分（）（）（）（）（）（），分则（），分令（），则 ，（舍去），分随着 的变化，（），（）的变化如下表：（，）（，）（）（）递增极大值递减 综上，当 时，（）最大 分解：（）由题意得 ，分 ，分 的方程为 分（）由（）知（，），设 的方程为 ，（），（，），（，），由 ，得 ，则 ，（），分 的中点为（，），分又直线 的斜率为，直线 的方程为：，将上式代入 ，并整理得 （），
13、分数学试题答案 第 页（共 页）设（，），（，），则 ，（），分则 （）（）（），的中点为（，），（），分由 垂直平分，又，得，在以 为直径的圆上，即 为圆心，分从而 ，即 （）（）（）（）（），解得 或 ，分 直线 的方程为 或 分解：（）令（）（）（）（）（），分令（）（），（），则（）在（，）递增，又（），当 时，有（）（），即，（）（），分当 时，（）（），（）（）（）分当 时，（），（）（）由 （），得 ，（）在（，）上单调递减 分当 时，（），（）（），（）在（，）上单调递增，故（）的单调递减区间为（，）分（）证明：由（）知（，）是（）的增区间，（，）是（）的减区间；（，）是（）的增区间，数学试题答案 第 页（共 页）当 时，（），（），（），结合函数（）的大致图象，设（）（）（）（，），（）（），（），而（），（）在（，）处的切线方程为：（），分令（）（）（），（，），（）（），则（）在（，）上单调递增，而（），（）在（，）上恒成立，即（，）时，（）（）分设直线 （）与 交点横坐标为，则 ，有，（），（），（），可得 ，分 （），又 ，（）（）分令（），则 （）（）（）令（）（），则 （）（）（），当（，）时，可得 （）恒成立，（）在（，）上单调递增；（）（），即 （）恒成立，（）在（，）上单调递增，分当（，）时，（）（），（）即 分