1、第 4 讲 万有引力与航天 知识点1 万有引力定律及其应用 【思维激活1】(多选)如图所示,P、Q为质量均为m的两个质点,分别置于地球表面上的不同纬度上,如果把地球看成一个均匀球体,P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动,则下列说法正确的是()A.P、Q受地球引力大小相等 B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等 C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D.P受地球引力大于Q所受地球引力【解析】选A、C。计算均匀球体与质点间的万有引力时，r为 球心到质点的距离，因为P、Q到地球球心的距离相同，根据 P、Q受地球引力大小相等。P、Q随地球自转，角速 度相同，但轨道半径不同，根据F=mR2，P、Q做圆周运
2、动的 向心力大小不同，选项A、C正确，B、D错误。2GMmFr，【知识梳理】1.内容：(1)自然界中_两个物体都相互吸引。(2)引力的方向在它们的_。(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积_、与它们之 间距离r的二次方_。2.表达式：F=_,其中G为引力常量,G=6.6710-11Nm2/kg2,由卡文迪许扭秤实验测定。3.适用条件：两个_之间的相互作用。任何 连线上 成正比 成反比 122m mGr质点 知识点2 环绕速度 【思维激活2】在圆轨道上做匀速圆周运动的 国际空间站里,宇航员手拿小球相对于太空舱 静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上,如图所示。下列说法正确的是()A.宇
3、航员相对于地球的速度大于7.9 km/s B.若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球,小球将落到“地面”上 C.宇航员将不受地球的引力作用 D.宇航员对“地面”的压力等于零【解析】选D。7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕 地球运行的最大速度，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其 运行速度均小于7.9 km/s，A错误；若宇航员相对于太空舱无 初速度释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地 球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心 力，即 其中m为小球的质量，故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，B错 误；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇
4、航员随空间站绕 地球做圆周运动的向心力，否则宇航员将脱离圆周轨道，C错 误；因宇航员受的引力全部提供了向心力，故宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，D正确。22MmvGmrr，【知识梳理】1.第一宇宙速度又叫_速度,其数值为_km/s。2.第一宇宙速度是人造卫星的最小_速度,也是人造卫星的 最大_速度。3.第一宇宙速度的计算方法：(1)由 得v=_。(2)由 得v=_。环绕 7.9 发射 环绕 22MmvGmRRGMR2vmgm RgR知识点3 第二宇宙速度和第三宇宙速度、经典时空观和相对 论时空观 【思维激活3】(多选)我国已先后成功发射了飞 行器“天宫一号”和飞船“神舟八号”,
5、并成功 地进行了对接试验,若“天宫一号”能在离地面 约300km高的圆轨道上正常运行,下列说法中正确的是()A.“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度 B.对接前,“神舟八号”欲追上“天宫一号”,必须在同一轨道上点火加速 C.对接时,“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等 D.对接后,“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度【解析】选C、D。地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，所以选项A错误；若“神舟八号”在与“天宫一号”同一轨道上点火加速，那么“神舟八号”受到的 万有引力小于向心力，其将做离心运动，不可能实现对接，选 项B错误；对接时，“神舟八号”与“天宫一号”必须在同一
6、 轨道上，根据a 可知，它们的加速度大小相等，选项C正 确；第一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度，所以对接后，“天宫一号”的速度仍然要小于第一宇宙速度，选项D正确。2MG r【知识梳理】1.第二宇宙速度(脱离速度)：使物体挣脱_引力束缚的最 小发射速度,其数值为_km/s。2.第三宇宙速度(逃逸速度)：使物体挣脱_引力束缚的最 小发射速度,其数值为_km/s。3.经典时空观：(1)在经典力学中,物体的质量不随_而改变;(2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量 结果在不同的参考系中是_的。地球 11.2 太阳 16.7 运动状态 相同 4.相对论时空观：(1)在狭义相对论中,物
7、体的质量随物体的速度的增加而_,用公式表示为_。(2)在狭义相对论中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测 量结果在不同的参考系中是_的。增加 022mmv1c不同【微点拨】1.万有引力定律的两个易混点：(1)任何物体之间都存在万有引力,不是只有天体之间才存在。(2)万有引力表达式只适用于质点间的相互作用,当物体间的距离趋近于零时,并非万有引力趋近于无穷大。2.对第一宇宙速度的三点提醒：(1)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,卫星离地面越高,卫星所需要的发射速度越大。(2)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度,卫星离地面越高,卫星的运行速度越小。(3)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度,其轨
8、道半径与地球半径相同。考点1 天体质量和密度的估算 1.自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由 得天体质量 。(2)天体密度 解题技巧2MmGmgR2gRMG3MM3g4V4 GRR3。2.借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和 周期T。(1)由 得天体的质量 。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径 R，则天体密度 可见，只要测出卫星环绕天体表面运 动的周期T，就可估算出中心天体的密度。222Mm4rGmrT2 324rMGT3233MM3 r4VGT RR3。23GT，【题组通关方案】【典题1】(
9、2014太原模拟)“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转,卫星能探测到整个月球的表面。卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H,绕行的周期为TM;月球绕地球公转的周期为TE,半径为R0。地球半径为RE,月球半径为RM。若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为()【解题探究】(1)请确定卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力。提示：卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的。33200E332EE0233EMMM00RR TA.B.RR TTRH
10、RHC.()()D.()TRR(2)设月球的质量为M月、地球的质量为M地、卫星的质量为m，请写出天体质量的求解思路。物理规律：_、_。方程式：a.对卫星：_；b.对月球：_。牛顿第二定律 万有引力定律 2M22MM4RHM mGmTRH月20220EM M4RGMRT地月月【典题解析】选C。卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的 向心力是由它们之间的万有引力提供的，由牛顿第二定律及万 有引力定律得，对卫星 对月球 解以上两式得 选项C正确。2M22MM4RHM mGmTRH月，20220EM M4RGMRT地月月，23EMM0MTRH()()MTR月地，【通关1+1】1.(拓展延伸)结合【典题1
11、】，回答下列问题：(1)能否求出卫星与月球、月球与地球的万有引力之比？提示：卫星与月球间的万有引力 ，月球与地球 间的万有引力 由于卫星的质量未知，故不能求 出它们的万有引力之比。2MM mFGRH月20M MFGR 地月，(2)能否求出卫星绕月球、月球绕地球做圆周运动的线速度、角速度之比？提示：由 得 由于月球与地球的质量之 比可求，轨道半径r已知，故能求出卫星绕月球、月球绕地球 做圆周运动的线速度之比；由=可知能求出卫星绕月球、月球绕地球做圆周运动的角速度之比。22MmvGmrr，GMvr，2T2.“嫦娥三号”探测器已于12月2日1时30分,在西昌卫星发射中心成功发射。“嫦娥三号”携带“玉
12、兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察,并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。“玉兔号”在地球表面的重力为G1,在月球表面的重力为G2;地球与月球均视为球体,其半径分别为R1、R2;地球表面重力加速度为g。则()A.月球表面的重力加速度为 B.月球与地球的质量之比为 C.月球卫星与地球卫星分别绕月球表面与地球表面运行的速率 之比为 D.“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为 12G gG222211G RG R1122G RG R221G R2G g【解析】选B。“玉兔号”在地球表面的重力为G1=mg，在月球 表面的重力为G2=mg月，则可得g月=A项错误；万有引力提 供重力，
13、两式相比可得B项正确；卫星 做圆周运动，万有引力提供向心力，两式 相比可得C项错误；“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运 动,万有引力提供向心力，解得 D项错误。21G g,G122212GM mGM mG,G,RR月地22121212vvGm,Gm,RR22221G g4mmR,GT122G RT2,G g【加固训练】1.(2012福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运 动,其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力 计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数 为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()【解析】选B。由N=mg，得g=，据 和 得 故选B。
14、2424mvmvNvNvA.B.C.D.GNGNGmGmNm2MmGmgR22MmmvG RR4mvM,GN2.(多选)为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国发射了一颗火星探测器。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时,周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G。仅利用以上数据,可以计算出()A.火星的质量 B.探测器的质量 C.火星对探测器的引力 D.火星表面的重力加速度【解析】选A、D。探测器在两个不同圆轨道上运动时，由万有 引力定律和牛顿第二定律得 联立以上两式可求得火星的质量和 半径，但无法求解探测器的质量，选项A
15、正确，B错误；由于探 测器的质量未知，故无法求解火星对探测器的引力，选项C错 误；在火星表面有 解得 选项D正确。212211Mm4GmRh,TRh222222Mm4GmRhTRh，2MmGmgR，2GMgR，【学科素养升华】估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量 时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的 卫星才有rR；计算天体密度时，中的R只能是中心天 体的半径。34VR3考点2 人造卫星的运动规律 1.人造卫星的运动规律：(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造
16、天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两条思路。万有引力提供向心力，即 天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即 或gR2GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR2GM应用广泛，称“黄金代换”。2MmGmar。2MmGmgR 深化理解(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。2.地球同步卫星的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据 得 卫星离地面高度hr-
17、R6R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。222Mm4GmrrT2432GMTr4.23 10 km4，3.极地卫星和近地卫星：(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极 地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫 星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行 线速度约为7.9 km/s。(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。【题组通关方案】【典题2】(2013广东高考)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期
18、比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大【解题探究】(1)卫星向心力的来源为_。(2)请写出卫星向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半 径关系的表达式。提示：由 得 (3)根据什么条件比较甲、乙两卫星的各物理量的关系?提示：甲、乙两颗卫星的轨道半径相同，而所绕中心天体的质 量不同，应根据中心天体的质量比较甲、乙两卫星的各物理量 的大小关系。万有引力 22222Mmv4rGmammrmrrT2GMGMavrr、33GMrT2rGM 、。【典题解析】选A。甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星 做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心 力。由牛顿第二定律 可得 由已知
19、条件 可得a甲T乙，甲乙，v甲v乙，故正确选项为A。22222mM4vGmamrmrmrTr，323GMrGMGMaT2vrGMrr ，。【通关1+1】1.(2014抚顺模拟)据报道,我国自主研制的“嫦娥二号”卫 星在奔月的旅途中,先后完成了一系列高难度的技术动作,在 其环月飞行的高度距离月球表面100km时开始全面工作。国际 上还没有分辨率优于10m的全月球立体图像,而“嫦娥二号”立 体相机具有的这种高精度拍摄能力,有助于人们对月球表面了 解得更清楚,所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度约为 200km的“嫦娥一号”更加翔实。若两颗卫星环月运行均可视 为匀速圆周运动,运行轨道如图所示,则下
20、列说法不正确的是 ()A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更长 B.“嫦娥二号”环月运行的速度比“嫦娥一号”更大 C.“嫦娥二号”环月运行时向心加速度比“嫦娥一号”更大 D.“嫦娥二号”环月运行时角速度比“嫦娥一号”更大【解析】选A。设“嫦娥二号”和“嫦娥一号”的运动半径分 别为r1和r2，万有引力提供向心力，由 可得周期之比 选项A错误；线速度之比 选项B正确；向心加速度之比 C项正确；角速度之比 选项D正确。故选A。2222Mmv4GmammrrrT311322TrTr，1221vrvr，212221arar，1221TT，2.(多选)(2014锦州模拟)2012年12月27日，我
21、国自行研制的“北斗导航卫星系统”(BDS)正式组网投入商用。2012年9月采用一箭双星的方式发射了该系统中的两颗圆轨道半径均为 21 332 km 的“北斗-M5”和“北斗-M6”卫星，其轨道如图 所示。关于这两颗卫星，下列说法正确的是()A.两颗卫星的向心加速度相同 B.两颗卫星的速度均小于7.9 km/s C.“北斗-M6”的速率大于同步卫星的速率 D.“北斗-M6”的运行周期大于地球自转周期【解析】选B、C。根据 知，轨道半径相等，则向心 加速度大小相等，但是方向不同，故A错误；根据 知，轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径等 于地球的半径，是做匀速圆周运动的最大速度，所以两
22、颗卫星 的速度均小于7.9 km/s，故B正确；“北斗-M6”的轨道半径小 于同步卫星的轨道半径，则线速度大于同步卫星的速率，故C 正确；因为“北斗-M6”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，根据 知，“北斗-M6”的周期小于同步卫星的周期，即小于地球自转的周期，故D错误。2MmGmarGMvr2 34rTGM【加固训练】1.(2012天津高考)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动,动能减小为原来的 ,不考虑卫星质量的变化,则变轨前后卫星的()A.向心加速度大小之比为41 B.角速度大小之比为21 C.周期之比为18 D.轨道半径之比为12 14【解析】选C。由动
23、能减小为原来的 知，其线速度变为原来 的 ，由 可得 所以变轨前后轨道半径 之比为14，选项D错；由 可得 所以变轨 前后向心加速度之比为161，选项A错；由=得，变轨前 后角速度之比为81，选项B错；由T=得，变轨前后周期之 比为18，选项C对。141222MmvGm,rrGMvr，n2MmGmarn2GMar，vr22.(多选)已知“神舟八号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径为R，万有引力常量为G。在该轨道上，“神舟八号”飞船()A.运行的线速度大小为 B.运行的线速度小于第一宇宙速度 C.运行时的向心加速度大小为 D.地球表面的重力加速度大小为 2 RT
24、224RhT32224RhT R【解析】选B、C、D。飞船运行的线速度大小为 选项A错误；由 得 飞船的运行速度 第一宇宙速度v1=，故vv2,T1T2 B.v1v2,T1T2 C.v1T2 D.v1v2,T1T2【解析】选B。设飞船原来做匀速圆周运动的轨道半径为r1，在某时刻飞船向后喷气做加速运动，飞船将做离心运动，进入 新轨道做匀速圆周运动的轨道半径为r2，则有r1r2，由 得v=，故v1v2，又由 得 T=故T1T2，因此选项B正确。22MmvGmrrGMr222Mm4rGmrT3r2GM，【学科素养升华】航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力
25、的 大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由 判断。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道 的速度大于内轨道的速度。GMvr【资源平台】万有引力定律与其他知识的综合应用 宇航员在地球表面以某一初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处;若他在某一星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过5t小球落回原处。(地球表面重力加速度g取10m/s2,空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g;(2)已知该星球的半径r与地球的半径R之比为14,求星球的质量M星与地球质量M地之比。【解析】(1)设竖直上
26、抛小球初速度为v，则 地球表面：0-v=-星球表面：0-v=-g 解得g=2 m/s2 gt25t2(2)小球在地球或星球表面附近受到的万有引力等于小球 重力，则 星球表面附近：地球表面附近：联立以上各式解得：答案：(1)2 m/s2 (2)2GM mmgr星2GM mmgR地M1M80星地180建模提能之4 双星模型 1.双星模型的特点：(1)“向心力等大反向”两颗行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,故F1=F2,且方向相反,分别作用在两颗行星上,是一对作用力和反作用力。(2)“周期、角速度相同”两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)“半径反比”圆心在两颗行星的连线
27、上,且r1+r2=L,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。2.解答双星问题应注意“两等”“两不等”：(1)双星问题的“两等”。它们的角速度相等。双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,即它们运动的向心力大小总是相等的。(2)“两不等”。双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点,所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的,它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。由m1 2r1=m2 2r2知由于m1与m2一般不相等,故r1与r2一般也不相等。【案例剖析】典题例证 深度剖析(2013山东高考)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一
28、点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为()3322nnnnA.T B.T C.T D.Tkkkk【精讲精析】选B。设两颗星的质量分别为m1、m2，做圆周运 动的半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可得：联立解得：即 因此，当两星总质量 变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时，两星圆周 运动的周期为 选项B正确，其他选项均错。2121 12212mm4Gm r Trr，2122 222
29、12mm4Gm r Trr，32121224rrmmGT，32122124rrTG mm，3nTTk，【自我小测】小试身手 固本强基 1.经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双 星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于 两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗 星球组成的双星m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连 线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的 距离为L，质量之比为m1m232。则可知()A.m1与m2做圆周运动的角速度之比为23 B.m1与m2做圆周运动的线速度之比为32 C.m1做圆周运动的半径为 L D.m2做圆周运
30、动的半径为 L 2525【解析】选C。双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连 线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A错 误；由 得r1r2=m2m1=23，由v=r 得m1与m2做圆周运动的线速度之比为v1v2=r1r2=23，选项 B错误；m1做圆周运动的半径为 L，m2做圆周运动的半径为 L，选项C正确，D错误。221211222m mGmrmrL25352.(2014西安模拟)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分
31、别做匀速圆周运动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量。(引力常量为G)【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径 分别为r1、r2,角速度分别为1、2,则1=2,r1+r2=r 由牛顿第二定律得：解得：又有：解得：答案：2212121 112 2222m mm mGm r,Gm rrr2112m rr,mm122,T2 31224rmmT G2 324rT G【加固训练】天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的星体黑洞。星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么()A.它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B.它们做圆周运动的周期与其质量成反比 C.它们做圆周运动的半径与其质量成反比 D.它们所受的向心力与其质量成反比【解析】选C。星球与黑洞绕某点做匀速圆周运动，它们之间 的万有引力提供向心力，则星球与黑洞的向心力相等，选项D 错误；星球与黑洞和某点始终共线，说明它们有相同的角速度 和周期，选项A、B错误；设星球与黑洞的质量、轨道半径分别 为m1、m2和r1、r2，角速度为，则有m12r1=m22r2，解得 选项C正确。1221rmrm，