1、第6节 空间直角坐标系(对应学生用书第107页)2了解空间两点间的距离公式(对应学生用书第107页)1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面质疑探究1：空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：八部分(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向(3)空间一点M的坐标：空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，
2、其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标(1)在空间直角坐标系中，任意一点P与有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系(2)在空间直角坐标系中，在x轴上的点可记作(x,0,0)在y轴上的点可记作(0，y,0)，在z轴上的点可记作(0,0，z)(3)在空间直角坐标系中，位于xOy平面上的点的竖坐标为0，所以可记作(x，y,0)，同理，位于xOz平面，yOz平面上的点的坐标分别可记作(x,0，z)，(0，y，z)质疑探究2：在空间直角坐标系中，点M(x，y，z)的坐标满足x2y2z21，则点M的轨迹是什么？提示：以原点为球心，以1为半径的球面1已知点A(1,2,3)，则A
3、关于平面xOy对称点的坐标为(B)(A)(1，2,3)(B)(1,2，3)(C)(1,2,3)(D)(1，2,3)解析：在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标应为(1,2，3)，故选B.2已知点A(3,0，4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(D)(A)12 (B)9 (C)25 (D)103在空间直角坐标系中，所有点P(x，y,2)(x，yR)的集合表示(B)(A)一条直线(B)平行于平面xOy的平面(C)平行于平面xOz的平面(D)两条直线解析：竖坐标为2的所有点的集合为平行于坐标平面xOy且与坐标平面
4、xOy距离为2的一个平面故选B.4设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则正方形A1B1C1D1的中心的坐标为_求空间点的坐标【例1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|2|MC1|，N是线段D1M的中点，建立适当的坐标系，求M，N的坐标思路点拨：可利用正方体中共点的三条两两垂直的棱所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，找到点在坐标平面内的射影，求得M的坐标，再由中点坐标公式求出N点的坐标求空间中点P坐标的方法法一：(1)过点P作一个平面平行于坐标平面yOz，这
5、个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的横坐标(2)过点P作一个平面平行于坐标平面xOz，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标(3)过点P作一个平面平行于坐标平面xOy，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z叫做点P的竖坐标显然x轴上点的坐标形如(x,0,0)，xOy平面上点的坐标形如(x，y,0)法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标空间中有关点的对称问题【例2】已知长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个
6、面分别平行于三个坐标平面，顶点A(2，3，1)，求其他七个顶点的坐标思路点拨：由题意可知，长方体的各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标解：由于已经建立了空间直角坐标系，如图所示由于O为长方体的对称中心，且A(2，3，1)，所以A与B关于xOz平面对称，B(2,3，1)又B、C两点关于yOz平面对称，C(2,3，1)同理可得D(2，3，1)，A1(2，3,1)，B1(2,3,1)，C1(2，3,1)，D1(2，3,1)在空间直角坐标系中，利用点的对称性可快速求出对称点的坐标，常见规律如下：已知点P(x，y，z)，则点P关于原点的对称点是(x，y，z)
7、关于x轴的对称点是(x，y，z)关于y轴的对称点是(x，y，z)关于z轴的对称点是(x，y，z)关于xOy平面的对称点是(x，y，z)关于yOz平面的对称点是(x，y，z)关于xOz平面的对称点是(x，y，z)口诀：“关于谁对称，谁不变”空间两点间距离公式的应用【例3】如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在棱CD上(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值(1)求空间中点的坐标时，一定要分清对应坐标，防止点的坐标求错(
8、2)利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决【例1】已知一个正四棱柱ABCDA1B1C1D1的顶点的坐标分别是A(0,0，0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,5)，则C1的坐标是_解析：如图所示，由题意知，C(2,2,0)，C1(2,2,5)答案：(2,2,5)【例2】已知点A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标为_错源：忽略解的讨论【例题】已知点P在z轴上，且满足|OP|1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为_【选题明细表】知识点、方法题号空间中点的
9、坐标的求法1、2空间点的对称问题7空间两点间距离公式应用3、4、5、7、8、9解析：由题意知，Q点的横、纵坐标与P点相同，而Q点的竖坐标为0，所以Q(1，0)，故选D.3正方体不在同一表面上的两顶点为A(1,2，1)、B(3，2,3)，则正方体体积为(C)(A)8 (B)27 (C)64 (D)1284已知点B是点A(3,7，4)在xOz平面上的射影，则OB2等于(B)(A)(9,0,16)(B)25(C)5 (D)13解析：A在xOz平面上射影为B(3,0，4)，则OB(3,0，4)，OB225.5(2010年福建福州模拟)若两点的坐标是A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，
10、1)，则|AB|的取值范围是(B)(A)0,5 (B)1,5(C)(0,5)(D)1,25二、填空题6如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，BC3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为_7已知点A(3,4,5)，则点A到x轴的距离为_三、解答题8在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)，试问(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，请求出点M的坐标9一个长方体的7个顶点坐标为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)则第8个顶点的坐标为(B)(A)(3,0,9)(B)(3,1,9)(C)(0,0,9)(D)(1,5,0)解析：在空间直角坐标系中画出已知点，根据长方体的性质，不难求出第8个顶点坐标为(3,1,9)，故选B.
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