1、第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系(对应学生用书第98页)3理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念4能证明一些空间位置关系的简单命题(对应学生用书第9899页)1平面的基本性质及公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行质疑探究：如何判断
2、两直线是异面直线？提示：可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线”去判断3直线与平面的位置关系4.两个平面的位置关系5.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补1若直线ab，bcA，则直线a与c的位置关系是(D)(A)异面(B)相交(C)平行(D)异面或相交解析：因为ab，bcA，所以由公理4知a与c一定不平行，故选D.2直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为(B)(A)1 (B)3 (C)6 (D)0解析：如图所示，可知确定3个平面3在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD
3、、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么(A)(A)M一定在直线AC上(B)M一定在直线BD上(C)M可能在直线AC上，也可能在直线BD上(D)M既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：由题意EF平面ABC，MEF，故M平面ABC，同理M平面ACD，由公理3，M必在平面ABC和平面ACD的交线AC上，故选A.解析：易证EFBD，BDB1D1，故CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角连接B1D1，D1C知CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60.答案：60(对应学生用书第99100页)共点、共线、共面问题思路点拨：(1)用三角形中位线定理证之(2
4、)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M，可证M与M重合，从而FE与DC相交证得四点共面(1)证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其常用方法如下：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合反证法(2)证明空间点共线问题：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上(3)证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直
5、线上异面直线的判定【例2】如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是长方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与B
6、、C、C1、D1不共面矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一平面内(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)(3)反证法：即假设两直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两直线相交或平行)，结合原题中的条件，得出矛盾，否定假设异面直线所成的角(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成
7、的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角变式探究31：如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角的大小为_【例1】(2010年湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点错源：忽略异面直线所成角的取值范围【例题】已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角(对应学生用书第280页)【选题明细表】知识点、方法题号平面基本性质的应用3、4、7、9两
8、直线位置关系的判定1、2、8、10异面直线所成的角5、6、8、9、10一、选择题1(2010年大连模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点故选A.2(2010年沈阳模拟)正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(A)(A)相交(B)异面(C)平行(D)垂直3如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的
9、一个图是(D)解析：A中PSQR，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，故共面；B中PS与QR相交，故共面，选D.4设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(D)Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPb(A)(B)(C)(D)解析：当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确5在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60角的条数为(B)
10、(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析：有2条，A1B和A1C1，故选B.二、填空题7下列能判断异面直线的是_直线与平面相交，则该直线与平面内不过该点的直线异面与两条异面直线都相交的两直线异面两平面相交，则两平面内分别与交线交于两个不同点的两直线异面两平面平行，则分别在两平面内且不平行的两直线异面解析：正确；如果这两条直线与异面直线相交的交点中，有两个重合，这时这两条直线相交，错误；易知正确答案：8(2010年郑州模拟)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：把正方
11、体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则ABEF，EF与MN为异面直线，ABCM，MNCD，所以只有正确答案：三、解答题9(2010年大连模拟)如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证AE与PB是异面直线；求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥AEBC的体积(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线解：(1)连结B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线B1D1BD，lB1D1，l直线BD.如图(1)
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