1、第5节 数列的综合应用考纲展示考纲解读1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.1.数列综合问题，在高考中通常有以下三种呈现形式：(1)等差、等比数列的内部综合；(2)数列与函数、不等式、解析几何的交汇；(3)数列知识的实际应用2考题具有综合性，难度中等或中等以上1数列知识的综合问题(1)数列本身的综合数列知识内部综合主要是指以等差数列和等比数列为中心的综合问题，通常涉及到等差、等比数列的证明，基本计算、求和等(2)数列与其他章节知识的综合与数列常联系在一起命题的知识主要有函数、不等式和解析几何，以及三角、复数等有时带有探索性，涉及
2、到的方法有转化与化归、放缩、数学归纳法、反证法、函数思想等2数列的实际应用(1)数列应用常见范例：生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列知识求解(2)数列应用题常见模型等差数列模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差等比数列模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数值，则该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比解答数列应用题的基本步骤审题：仔细阅读材料，认真理解题意建模：将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项
3、还是求前n项和求解：求出该问题的数学解还原：将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤如下框图：质疑探究：银行储蓄单利和复利计算各是什么模型？提示：设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则按单利计算，本利和ana(1rn)，属于等差模型按复利计算，本利和ana(1r)n，属于等比模型4(2010年浙江五校一模)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_等差、等比数列的综合【例1】在等比数列an(nN*)中，a11，公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an；(3
4、)试比较an与Sn的大小思路点拨：(1)利用定义法即可解决，(2)先求bn的首项和公差，再求an的首项及公比，(3)分情况讨论数列的实际应用【例3】某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)
5、思路点拨：关键信息是：每年新建住房面积平均比上一年增长8%，说明新建住房面积构成等比数列模型；中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，说明中低价房的面积构成等差数列模型(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1.由题意可知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.当n5时，a50.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的
6、有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现【例题】(2010年高考湖北卷)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6)错解分析：数列是特殊的函数，用函数的观点研究数列，往往忽视其“特殊性”，即定义域为nN*，从而导致审题错误正解：an是递增数列，an1an，即(n1)2(n1)n2n
7、，2n1对于nN*恒成立，而2n1在n1时取得最大值3，3，故选D.知识点、方法题号等差数列与等比数列的综合4数列与函数的综合1、7、8、9数列与不等式的综合8数列与解析几何的综合2、3数列的实际应用5数列与三角的综合6【选题明细表】5(2010年皖南八校模拟)某公园为庆祝国庆节免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(B)(A)21247 (B)21257(C)21368 (D)21480解析：公园内的人数为(22223211)(12310)21257.故选B.三、解答题8已知an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)2x1的图象上，数列bn满足bnlog2an12(nN*)，设数列bn的前n项和为Tn.(1)求数列an的通项公式；(2)当数列bn的前n项和最小时，求n的值；(3)求不等式Tnbn的解集解：(1)依题意：Sn2n1(nN*)，当n2时，anSnSn12n2n12n1.当n1时，S1a11也适合上式an2n1(nN*)
