1、第2节 平面向量基本定理及其坐标表示(对应学生用书第6162页)1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，也可记作a，b.(2)范围：向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.质疑探究1：在ABC中，设ABa，BCb，则a与b的夹角是ABC吗？提示：不是，a与b的夹角为ABC，求两向量的夹角时，两向量的起点必须相同2平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e
2、2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？提示：表示结果唯一平面内只有不共线的两个向量才能作基底3平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x，y
3、分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量4平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，ab(b0)的充要条件是x1y2x2y10.(3)非零向量a(x，y)的单位向量为1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b等于(A)(A)(7,3)(B)(7,7)(C)(1,7)(D)(1,3)解析：a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，故选A.
4、2已知命题：“若k1ak2b0，则k1k20”是真命题，则下面对a、b的判断正确的是(B)(A)a与b一定共线(B)a与b一定不共线(C)a与b一定垂直(D)a与b中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a、b不共线时，k1k20，故选B.3(2010年芜湖市模拟)已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab(C)(A)平行于x轴(B)平行于第一、三象限的角平分线(C)平行于y轴(D)平行于第二、四象限的角平分线解析：ab(0，x21)，ab平行于y轴，故选C.4(2010年苏、锡、常、镇模拟)在OAC中，B为AC的中点，若OCxOAyOB，则xy_.(对应学生用书第6263页
5、)平面向量基本定理及其应用【例1】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AMc，ANd，试用c，d表示AB，AD.思路点拨：直接用c，d表示AB、AD有难度，可换一个角度，由AB，AD表示AN，AM，进而解方程组可求AB，AD.平面向量基本定理表明，平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一的表示，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算具体问题中可结合图形进行思考、分析转化向量的起、终点坐标、向量坐标可“知二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程组求解向量坐标的概念其实质是平面向量基本定理的具
6、体运用随着学习的深入对此应有一个深刻的认识共线向量的坐标运算【例3】(2010年高考陕西卷)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.思路点拨：先计算出ab，然后根据两向量共线的充要条件列方程求m的值解析：a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)，又c(1,2)，(ab)c，2(1)(m1)0，解得m1.答案：1两向量共线的充要条件在解有关共线问题中具有重要的应用一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，可利用“x1y2x2y10”列式求解变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b等于()(A)(5，10)(
7、B)(4，8)(C)(3，6)(D)(2，4)解析：若ab，则1m(2)20，m4，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(2,4)(6，12)(4，8)，故选B.【例题】平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(1,3)，若点C满足OCOAOB，其中、R且1，则点C的轨迹方程为()(A)3x2y110(B)(x1)2(y2)25(C)2xy0(D)x2y50(对应学生用书第264页)【选题明细表】知识点、方法题号平面向量基本定理3、7向量的坐标运算2、5、6、9共线向量的坐标运算1、4、8、10一、选择题1(教材改编题)已知a(4,2)，b(x,3)，且ab，则x等于(B
8、)(A)9 (B)6(C)5 (D)3解析：ab，432x0，解得x6.故选B.2(2010年合肥二检)若AB(2,4)，AC(1,3)，则BC(B)(A)(1,1)(B)(1，1)(C)(3,7)(D)(3，7)解析：BCACAB，AB(2,4)，AC(1,3)，BC(1,3)(2,4)(1，1)，故选B.3已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy等于(A)(A)3 (B)3(C)0 (D)24(2009年高考重庆卷)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是(D)(A)2 (B)0 (C)1 (D)2解析：法
9、一：因为a(1,1)，b(2，x)，所以ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，由ab与4b2a平行，得6(x1)3(4x2)0，解得x2.故选D.法二：因为ab与4b2a平行，则存在常数，使ab(4b2a)，即(21)a(41)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x2.6(2011年深圳高级中学模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OAa，OBb，其中a(3,1)，b(1,3)若OCab，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(A)解析：OC(3，3)，33，在平行四边形对角线OD(包括OD)上方的点都符合要求，故选A.二、填空题7(2010年湖北八校联考)如图，在ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若AMABAC，则_.三、解答题9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，O为坐标原点设ABa，BCb，CAc，且CM3c，CN2b.(1)求：3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标(3)CMOMOC3c，OM3cOC(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又CNONOC2b，ON2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)MN(9，18)10ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.
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