1、复数代数形式的乘除运算 (20分钟35分)1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以=2-3i.2.(2020全国卷)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.化简的结果是()A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i【解析】选C.=2-i.4.已知复数z=(2-i)2(i为虚数单位),则z的共轭复数为_.【解析】z=(2-i)2=3-4i,=
2、3+4i.答案:3+4i5.已知a,bR,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为_.【解析】因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,bR,所以1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,所以=2.答案:26.已知为z的共轭复数,若z-3i=1+3i,求z.【解析】设z=a+bi(a,bR),则=a-bi(a,bR),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有解得或所以z=-1或z=-1+3i. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.计算+的值是()A.0B.1C.iD.2i【解析】选
3、D.原式=+=+=+i=+i=2i.2.设a是实数,且R,则实数a=()A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.因为R,所以不妨设=x,xR,则1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有所以a=1.3.设z=3-i,则=()A.3+iB.3-iC.i+D.+i【解析】选D.=+i.4.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1=z2D.若|z1|=|z2|,则=【解析】选D.A项,|z1-z2|=0z1-z2=0z1=z2=,真命题;B项,z1=z2,真命题;C项,|z1|=|z2|z1|2=|z2|2z1
4、=z2,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题.5.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若zi+2=2z,则z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选A.设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,又zi+2=2z,所以(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以a=1,b=1,故z=1+i.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(1+i)20-(1-i)20的值等于_.【解析】因为(1+i)20-(1-i)20=(1+i)210-(1-i)210=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.答案:07.若z1
5、=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为_.【解析】=,因为为纯虚数,所以所以a=.答案:8.设x,y为实数且+=,则x+y=_.【解析】+=可化为,+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知所以所以x+y=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.设复数z=,若z2+0,求纯虚数a.【解析】由z2+0可知z2+是实数且为负数.z=1-i.因为a为纯虚数,所以设a=mi(mR且m0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i0,所以所以m=4,所以a=4i.10.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.
6、【解析】z=(a+bi)=2ii(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4,得a2+b2=4,因为复数0,z,对应的点构成正三角形,所以|z-|=|z|.把z=-2a-2bi代入化简得,|b|=1.又因为z对应的点在第一象限,所以a0,b0.由得故所求值为a=-,b=-1.1.已知复数z满足(3+4i)z=5i2 020(i为虚数单位),则|z|=_.【解析】 由(3+4i)z=5i2 020, 得z=,所以|z|=1.答案:12.已知+=2n,求最小正整数n.【解析】原等式可化为+=2n,即(1+i)2n(1+i)+(1-i)2n(1-i)=22n,(2i)n(1+i)+(-2i)n(1-i)=22n,2nin(1+i)+2n(-i)n(1-i)=22n,所以in(1+i)+(-1)n(1-i)=2,若n=2k(kN*),则i2k(1+i)+(1-i)=2,所以i2k=1,所以k最小为2,所以n最小为4.若n=2k-1(kN*),则i2k-1(1+i)-(1-i)=2,故2i2k=2,所以i2k=1,k最小为2,n最小为3.所以对于nN*时,最小正整数为3.