1、15.3定积分的概念1了解定积分的概念2会用定义求一些简单的定积分1定积分的概念： 如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积，记作f(x)dx，即f(x)dx_f(i)其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x
2、)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx (k为常数)；(2) f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3) f(x)dxf(x)dxf(x)dx (其中acb)想一想：直线x0, x，y0与曲线ysin x所围成的图形的面积用积分表示为sin_xdx想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积答案：Sf1(x)dxf2(x)dx想一想：定积分x3dx的取值的符号为正，x3dx的取值的符号为负，x3dx的取值的符号为01当a0，则f(x)dx的值(A)A一定是正的B一定是负的C当0ab时是正的，当
3、ab0时是负的D正、负都有可能解析：由定积分的几何意义知，当a0时，f(x)dx0.2下列等式不成立的是(C)A. mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB. f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdxsin xdxsin xdx解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立例如xdx，x2dx，x3dx.但x3dxxdxx2dx. 3计算：dx(C)A8 B16 C4 D32解析：dx表示以原点为圆心，半径为4的圆的面积，dx424.1定积分f(x)dx的大小(A)A与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，
4、与区间a，b及i的取法无关C与f(x)及i的取法有关，与区间a，b无关D与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关2下列结论中成立的个数是(C)x3dxx3dxx3dxA0 B1 C2 D3解析：由定积分的定义知，、成立，故选C.3(2014高考陕西卷)定积分 (2xex)dx的值为(C)Ae2 Be1Ce De1解析： (2xex)dx(x2ex)f0(12e1)(02e0)e，故选C.4. dx_解析：积分dx表示如下图所示的圆的面积的.所以S(2)2.答案：5定积分 (3)dx等(A)A6 B6C3 D3解析：3dx表示图中阴影部分的面积S326， (3)dx3dx6.故选A.6设axd
5、x，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是(B)AcabBabcCabcDacb解析：根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxxdx，即abc，故选B.7(2013天津高二检测)曲线y与直线yx，x2所围成的图形面积用定积分可表示为_解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为 xdxdxdx答案：dx8设f(x)则f(x)dx_解析：f(x)f(x)dx(x1)dx(2x4)dx.又由定积分的几何意义得(x1)dx(12)1，(2x4)dx121，f(x)dx1.答案：9简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积(1) x2dxx2dx；(2) (1x)dx (x1)dx.解析：(1)原式x2dx，如下图(1)所示(2)(1x)dx(x1)dx|1x|dx，如图(2)所示10计算定积分：xdx.解析：xdxdxxdx，令S1dx，S2xdx.S1、S2的几何意义如图(1)、(2)所示对S1dx，令y0，则(x1)2y21(0x1，y0)由定积分几何意义知S1dx12.对于S2xdx，由其几何意义知S211，故 xdxS1S2.