1、第二章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1不共面的四点可以确定平面的个数为(C)A2B3 C4D无法确定解析：不共面的四个点中，任三点都是不共线的，故任意三点都可以确定一个平面，共可以确定4个平面2下面列举的图形一定是平面图形的是(D)A有一个角是直角的四边形B有两个角是直角的四边形C有三个角是直角的四边形D有四个角是直角的四边形解析：对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形从而得出A、B、C都不正确；根据排除法，可知选项D正确3梯形ABCD中，A
2、BCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是(B)A平行B平行或异面 C平行或相交D异面或相交解析：由直线与平面平行的判定定理，可知CD，所以CD与平面内的直线没有公共点4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(B)Am，n且，则mn Bm，n且，则mnCm，n，mn，则 Dm，n，m，n，则解析：A中，m，n，则m与n平行、异面、相交皆有可能，故A错误B中，m，则m或m，又n，所以mn，故B正确C中，m，n，mn，则m与可能垂直，当m时有，所以C错误D中，由面面平行的判定定理，必须要m与n相交，才能得到，则D错误5.如图，l，A，B，C，Cl，
3、直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过(D)A点A B点BC点C但不通过点MD点C和点M解析：通过A，B，C三点的平面，即通过直线AB与点C的平面，因为MAB，M，而C，又M，C，和的交线必通过点C和点M.6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(C)A. B. C. D.解析：过点F作FHDC，交BC于H，过点A作AGEF，交EF于G，连接GH，AH，则AFH为异面直线AF与BE所成的角设正方形ABCD的边长为2，在AGH中，AH，在AFH中，AF1，FH2，AH，cosAFH.7已知
4、直线a和平面，l，a，a，a在，内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是(D)A平行B相交 C异面D以上均有可能解析：当a，a时，有ab，ac，则bc；当aA，aB，且AB与l不垂直时，b与c异面；当alO时，b与c相交于O.b和c的位置关系是相交、平行或异面8如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A30B45 C60D90解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则AEBC，AEDE，由线面垂直的判定定理，知AE平面BB1C1C，故ADE即为所求的角设三棱柱的棱长为1，易知AE，DE，则t
5、anADE，故ADE60.9.已知三棱锥SABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是(A)BC平面SAC；平面SBC平面SAB；SBAC.ABCD解析：由三视图可知，三棱锥SABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且ACBC，从而只有是正确的故选A.10如图，三棱柱A1B1C1ABC中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(C)ACC1与B1E是异面直线BAC平面A1B1BACAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E解析：AE与B1C1显然是异面直线，又B1C1BC，AEBC，所
6、以AEB1C1，故选C.11平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为(A)A. B. C. D.解析：因为平面平面CB1D1，所以平面与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以lB1D1，所以mB1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线因为平面ABB1A1平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以nCD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD
7、1所成的角，显然所成的角为60，则其正弦值为.12在三棱锥SABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36，则该三棱锥的体积为(C)A9 B. C.D27解析：如图，设外接球的球心为O.在三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱SA底面ABC，三棱锥的外接球的体积为36，三棱锥的外接球的半径ROS3.过A作AEBC，交BC于E，过球心O作OD平面ABC于D，则DAE，且D是ABC的重心，ADAE，OD.O到SA的距离为AD，SAOD2，该三棱锥的体积VSASABC2.二、填空题(每小题5分，共20分)13在正方体ABCDA1B1C1D1
8、中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为平行解析：易知BDB1D1，BD平面AB1D1.同理BC1平面AB1D1.又BDBC1B，BD平面BDC1，BC1平面BDC1，平面AB1D1平面BC1D.14P为ABC所在平面外一点，PA，PB，PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么ABC的形状为等腰三角形解析：设点P在底面ABC上的射影为O.由PA，PB，PC与平面ABC所成角均相等，O点到ABC三个顶点的距离相等，即O是ABC的外心，PO底面ABC，POBC，又PABC，POPAP，BC平面PAO，OABC，ABAC，ABC一定为等腰三角形15已知矩形ABCD，AB3，BCa，若
9、PA平面AC，在BC边上取点E，使PEDE，则当满足条件的E点有两个时，a的取值范围是a6.解析：如图所示，连接AE，PEDE，DEPA，PEPAP，DE平面PAE，DEAE，在矩形ABCD中，AED90.若满足条件的E点有两个，则以AD为直径的圆与BC相交36.16如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE(A平面ABC)是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：平面AFG平面ABC；BC平面ADE；三棱锥ADEF的体积的最大值为a3；动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；直线DF与直线AE可能共面其中正确的命题是(写出所有正确命题的编号)解析：由已知
10、可得四边形ADFE是菱形，则DEGA，DEGF，所以DE平面AFG，所以平面AFG平面ABC，正确；因为BCDE，所以BC平面ADE，正确；当平面ADE平面ABC时，三棱锥ADEF的体积达到最大值，最大值为a3，故正确；由知动点A在平面ABC上的射影在线段AF上，故正确；ADE在旋转过程中，直线DF与直线AE始终异面，故错误三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17.(10分)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BEAF，BCAD，BCAD，BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点是否
11、共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由解：(1)证明：由已知G，H分别为FA，FD的中点，可得GHAD，GHAD，BCAD，BCAD，GHBC，GHBC，四边形BCHG为平行四边形(2)C，D，F，E共面证明如下：方法1：由BEAF，BEAF，G为FA中点知，BEFG，BEFG.四边形BEFG为平行四边形EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面方法2：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M.BEAF，B为MA中点BCAD.B为MA中点M与M重合，即FE与DC交于点M(M)C，D，F，E四点共面18.(12分)如图所示，在空间四边形ABCD中
12、，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小解：如图，取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB，且EGAB，FGCD，且FGCD.由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.19(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD90，AD3BC，
13、O是AD上一点(1)若CD平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB平面PCD.解：(1)CD平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD平面PBOBO，BOCD.又BCAD，四边形BCDO为平行四边形，则BCDO，而AD3BC，AD3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点(2)证明：侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB底面ABCD，且ABAD，AB平面PAD.又PD平面PAD，ABPD.又PAPD，且ABPAA，PD平面PAB.又PD平面PCD，平面PAB平面PCD.20.(12分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，AC
14、BC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以SVAB，又因为OC平面VAB，所以VCVABOCSVAB.因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.21(12
15、分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点(1)求证：PA平面BDE，平面PAC平面BDE；(2)若二面角EBDC为30，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：连接OE，如图所示O，E分别为AC，PC的中点，OEPA.OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.PO平面ABCD，POBD.在正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD平面PAC.BD平面BDE，平面PAC平面BDE.(2)由(1)知，BD平面PAC，BDOC，BDOE，EOC为二面角EBDC的平面角，EOC30.在RtOPC中，OCa，ECOE
16、OC30，POa，V四棱锥PABCDa2aa3.22.(12分)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小解：(1)证明：如图，连接A1B.在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)证明：因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，从而BB1AE.又BCBB1B，所以AE平
17、面BCB1，又AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以四边形AA1NE为平行四边形所以A1NAE，且A1NAE.因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以四边形AA1MB为平行四边形所以A1MAB，A1MAB，由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.