1、2016-2017学年浙江省嘉兴市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（3分）不等式x2+x60的解集是（）Ax|xx3Bx|2x3Cx|x2Dx|3x22（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（）A30B45C60D903（3分）若xy，mn，下列不等式正确的是（）AmynxBxmynCDxmyn4（3分）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可判断这四个几何体依次为（） A三棱台、三棱柱、圆锥、圆柱B三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C三棱
2、柱、四棱锥、圆锥、圆台D三棱柱、三棱台、圆锥、圆台5（3分）已知直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线（）A有无数条，不一定在平面内B只有一条，不在平面内C有无数条，一定在平面内D只有一条，且在平面内6（3分）下列说法中正确的个数是（）若两个平面，a，b，则ab；若两个平面，a，b，则a与b异面；若两个平面，a，b，则a与b一定不相交；若两个平面，a，b，则a与b平行或异面A0B1C2D37（3分）若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）A4：3B2：1C5：3D3：28（3分）不等式1|2x1|2的解集为（）ABCD（，01，+）9（3
3、分）设常数a0，若9x+a24对一切正实数x成立，则a的取值范围是（）A1，4B4，1C（0，1D（0，410（3分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（01），则点G到平面D1EF的距离为（）ABCD11（3分）若正实数x，y满足x+2y+2xy8=0，则x+2y的最小值（）A3B4CD12（3分）如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为边AA1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且A1P平面CED1则点P在侧面BCC1B1轨迹的长度为（）A2BCD二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共1
4、8分13（3分）某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是14（3分）如图为一平面图形的直观图，则该平面图形的面积为15（3分）已知0x，则x（54x）的最大值是16（3分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是17（3分）（文科）对于任意实数x，不等式ax2ax10恒成立，则实数a的取值范围是18（3分）一边长为2的正三角形ABC的两个顶点A、B在平面上，另一个顶点C在平面上的射影为C，则三棱锥ABCC的体积的最大值为三解答题：本大题共6小题，共46分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19（6分）已知a，b是正数，且ab，比较a3+b3与a2b+ab2的大小20（
5、8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH求证：（1）AP平面BDM；（2）APGH21（8分）要建造一个容积为4800m3，深为3m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120，那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？22（8分）已知三个不等式x24x+30，x26x+80，2x29x+m0要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围23（8分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，E是棱DD1的中点（1）求三棱锥EA1B1B的体积；（2）在棱C1
6、D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论24（8分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC=（1）求证：平面DEG平面BCF；（2）若D，E为AB，AC上的中点，H为BC中点，求异面直线AB与FH所成角的余弦值2016-2017学年浙江省嘉兴市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（3分）（2014春苍南县校级期末）不等式x2+x60
7、的解集是（）Ax|xx3Bx|2x3Cx|x2Dx|3x2【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】通过因式分解，利用一元二次不等式的解法即可得出【解答】解：不等式x2+x60化为（x+3）（x2）0，解得3x2，其解集为x|3x2故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题2（3分）（2012秋凉州区校级期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】将CC1平移到B1B，从而A1BB1为直线BA1与CC1所成角，在三角形A1BB1中求出此角即可【解答】解
8、：CC1B1B，A1BB1为直线BA1与CC1所成角，因为是在正方体ABCDA1B1C1D1中，所以A1BB1=45故选B【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题3（3分）（2016秋嘉兴期中）若xy，mn，下列不等式正确的是（）AmynxBxmynCDxmyn【考点】不等关系与不等式【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式【分析】举例即可判断A，B，同向不等式具有可加性，于是x+my+n，进而得出答案【解答】解：对于B，x=1，y=2，m=1，n=2时不成立，对于C，x=1，y=2，m=1，n=2时不成立，xy，mn，x+my+n，my
9、nxA正确，m+yn+x，xmyn，故D不成立，故选：A【点评】本题考查不等式的基本性质，深刻理解不等式的基本性质是解决此问题的关键4（3分）（2016秋嘉兴期中）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可判断这四个几何体依次为（） A三棱台、三棱柱、圆锥、圆柱B三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【考点】简单空间图形的三视图【专题】综合题；数形结合；演绎法；空间位置关系与距离【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项【解答】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；（2）三视图复原的几何体是四棱锥；
10、（3）三视图复原的几何体是圆锥；（4）三视图复原的几何体是圆台所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台故选C【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题5（3分）（2016秋嘉兴期中）已知直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线（）A有无数条，不一定在平面内B只有一条，不在平面内C有无数条，一定在平面内D只有一条，且在平面内【考点】直线与平面平行的性质【专题】反证法；空间位置关系与距离【分析】过一点有且只有一条直线与已知直线平行由于点p在面内，所以直线也就在平面内【解答】解：证明：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，ml且nl由平行公理可得mn
11、这与两条直线m与n相交于点P相矛盾又点P在平面内，点P且平行于l的直线有一条且在平面内，假设错误所以直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面内故选D【点评】空间中直线与平面的位置关系过一点有且只有一条直线与已知直线平行属于基础题6（3分）（2016秋嘉兴期中）下列说法中正确的个数是（）若两个平面，a，b，则ab；若两个平面，a，b，则a与b异面；若两个平面，a，b，则a与b一定不相交；若两个平面，a，b，则a与b平行或异面A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何【分析】若两个平面，
12、a，b，a与b无公共点，即a与b平行或异面进而分析四个命题的真假，可得答案【解答】解：若两个平面，a，b，则ab或a，b异面，故，错误，正确；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题7（3分）（2016秋嘉兴期中）若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）A4：3B2：1C5：3D3：2【考点】棱锥的结构特征【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离【分析】先求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此能求出这个圆锥的表面积与侧面积的比【解答】解：圆锥的侧面积=12=圆
13、锥的底面半径=212=，圆锥的底面积=，圆锥的表面积=侧面积+底面积=，这个圆锥的表面积与侧面积的比=4：3故选A【点评】本题考查圆锥的表面积与侧面积的比，是基础题解题时要认真审题，仔细解答8（3分）（2016秋嘉兴期中）不等式1|2x1|2的解集为（）ABCD（，01，+）【考点】绝对值不等式的解法【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】去掉绝对值得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：x0或1x，故不等式的解集是（，01，），故选：C【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的解法，是一道基础题9（3分）（2016秋嘉兴期中）设常数a0，若9x+a24
14、对一切正实数x成立，则a的取值范围是（）A1，4B4，1C（0，1D（0，4【考点】函数恒成立问题【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】利用基本不等式，可得9x+3a，从而9x+a24（a0）对一切正实数x成立，转化为3aa24，求解不等式即可求出实数a的取值范围【解答】解：对一切正实数x，9x+=3a9x+a24对一切正实数x成立，3aa24，即a23a40，得1a4又a0，0a4实数a的取值范围是（0，4故选：D【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题10（3分）（2007湖北）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D
15、1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（01），则点G到平面D1EF的距离为（）ABCD【考点】空间点、线、面的位置【专题】计算题【分析】因为A1B1EF，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离【解答】解：因为A1B1EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力11（3分）（2016秋嘉兴期中）若正实数x，y满足x+2y+2x
16、y8=0，则x+2y的最小值（）A3B4CD【考点】基本不等式【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】正实数x，y满足x+2y+2xy8=0，利用基本不等式的性质可得x+2y+（）280，设x+2y=t0，即可求出x+2y的最小值【解答】解：正实数x，y满足x+2y+2xy8=0，x+2y+（）280，设x+2y=t0，t+t280，t2+4t320，即（t+8）（t4）0，t4，故x+2y的最小值为4，故选：B【点评】本题考查了不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（3分）（2016秋嘉兴期中）如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D
17、1中，E为边AA1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且A1P平面CED1则点P在侧面BCC1B1轨迹的长度为（）A2BCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何【分析】取C1D1，C1C的中点G，F，根据线面平行及面面平行的判定定理，可得平面A1GFB平面CED1，故A1P平面CED1时，P在侧面BCC1B1的轨迹是线段BF，进而利用勾股定理，可得答案【解答】解：取C1D1，C1C的中点G，F，连接A1G、FG，BF，A1B，GFD1C，GF平面CED1，GF平面CED1，BFD1E，BF平面CED1，BF平面CED1，BF，GF是平面
18、A1GFB内的相交直线，平面A1GFB平面CED1，故A1P平面CED1时，P在侧面BCC1B1的轨迹是线段BF，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，故BF=，故选：C【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线，直线与平面的位置关系，难度中档二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分13（3分）（2016秋嘉兴期中）某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是3【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4r2因为球的体积与
19、其表面积的数值相等，所以=4r2解得r=3，故答案为：3【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题14（3分）（2016秋嘉兴期中）如图为一平面图形的直观图，则该平面图形的面积为6【考点】斜二测法画直观图【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积【解答】解：设原图形为AOB，且AOB的直观图为AOB，如图OA=2，OB=3，AOB=45OA=4，OB=3，AOB=90因此，RtAOB的面积为S=6，故答案为：6【点评】
20、本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题15（3分）（2016秋嘉兴期中）已知0x，则x（54x）的最大值是【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式【分析】x（54x）=4x（54x）根据基本不等式即可求出最值【解答】解：0x，054x5，x（54x）=4x（54x）（）2=，当且仅当x=时取等号，故最大值为，故答案为；【点评】本题考查 了基本不等式的应用，属于基础题16（3分）（2016秋嘉兴期中）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是470【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算
21、题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离【分析】原几何体为：一个长宽高分别为10，5，10的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为5，6直角三角形，高为6，利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出【解答】解：由题意，原几何体为：一个长宽高分别为10，5，10的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为5，6直角三角形，高为6因此该几何体的体积=10510=470故答案为：470【点评】本题考查了三视图、长方体与三棱锥的体积计算公式，属于基础题17（3分）（2016秋嘉兴期中）（文科）对于任意实数x，不等式ax2ax10恒成立，则实数a的取值范围是（4，0【考点】一元二次不等式的应用；二次函数的
22、性质【专题】计算题【分析】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求【解答】解：当a=0时，10恒成立，故满足条件；当a0时，对于任意实数x，不等式ax2ax10恒成立则解得4a0综上所述，4a0故答案为：（4，0【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题18（3分）（2016秋嘉兴期中）一边长为2的正三角形ABC的两个顶点A、B在平面上，另一个顶点C在平面上的射影为C，则三棱锥ABCC的体积的最大值为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】设AB的中点为D
23、，连接CD，CD，设平面ABC与平面所成的角为，求出SCDC，证明AB平面CDC，则VCABC=sin2，从而得出体积的最大值【解答】解：设AB的中点为D，连接CD，CD，ABC是边长为2的等边三角形，ABCD，CD=CC，AB，CCAB，又CDCC=C，AB平面CDC，CDC为平面ABC与平面所成的角，设CDC=，则CC=CDsin=sin，CD=cos，SCDC=sincos=sin2，VCABC=sin2，当2=即时，V取得最大值故答案为：【点评】本题考查了项目垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题三解答题：本大题共6小题，共46分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19（6分）（20
24、16秋嘉兴期中）已知a，b是正数，且ab，比较a3+b3与a2b+ab2的大小【考点】不等式比较大小【专题】计算题；分析法；不等式【分析】利用作差法，分析判断即可【解答】解：作差比较（a3+b3）（a2b+ab2）（2分）=（a3a2b）+（b3ab2）=a2（ab）+b2（ba）=（ab）（a2b2）=（ab）2（a+b）（4分）因为ab，a0，b0所以（ab）2（a+b）0所以a3+b3a2b+ab2（6分）【点评】本题考查作差法半径大小的应用，考查计算能力20（8分）（2016秋嘉兴期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过
25、G和AP作平面交平面BDM于GH求证：（1）AP平面BDM；（2）APGH【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质【专题】证明题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离【分析】（1）连AC，交BD于O，连接OM，证明OMAP，即可证明AP平面BDM；（2）由线面平行的性质定理得APGH【解答】证明：（1）如图连AC，交BD于O，连接OM，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点又M是PC的中点，所以OMAP（2分）又OM平面BDM，AP平面BDM，所以AP平面BDM（4分）（2）因为经过AP与点G的平面交平面BDM于GH，所以由线面平行的性质定理得APGH（8分）【点评】本题
26、考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（8分）（2016秋嘉兴期中）要建造一个容积为4800m3，深为3m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120，那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？【考点】函数模型的选择与应用【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用【分析】设水池底面长为x米时，总造价为y元列出函数关系式，利用基本不等式求解最值即可【解答】（8分）解：设水池底面长为x米时，总造价为y元由题意知水池底面积为，水池底面宽为（2分）y=1501600+1203（2x+2）=1501600+720（x+）
27、（4分），当且仅当“x=40”时取得“=”（6分）所以当x=40时，ymin=297600（8分）【点评】本题考查实际问题的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力22（8分）（2016秋嘉兴期中）已知三个不等式x24x+30，x26x+80，2x29x+m0要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；解题思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】求出满足前两个不等式的x的范围，利用函数恒成立，分离变量，求解即可【解答】解：不等式x24x+30，解得1x3，x26x+80，解得2x4，同时满足的所有x的值得2x3，（3分）要使同时满足的所有
28、x的值满足，即不等式2x29x+m0在x（2，3）上恒成立，即m2x2+9x在x（2，3）上恒成立，又2x2+9x在x（2，3）上大于9，所以 m9（8分）【点评】本题考查函数恒成立的应用，二次函数的简单性质的应用，不等式的解法，考查计算能力23（8分）（2016秋嘉兴期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，E是棱DD1的中点（1）求三棱锥EA1B1B的体积；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）代入棱锥的体积公式计算；（2）取C1
29、D1中点F，连B1F，EF，C1D，连B1A交A1B于O，则可证四边形B1OEF为平行四边形，得出BFOE，从而得出B1F平面A1BE【解答】解：（1）（2）存在取C1D1中点F，连B1F，EF，C1D，连B1A交A1B于O，EF是D1C1D的中位线，因为正方体ABCDA1B1C1D1所以又因为四边形B1ADC1是平行四边形，所以B1AC1D，B1A=C1D所以B1OEF，B1O=EF，所以四边形B1OEF是平行四边形，所以B1FOE，所以B1F平面A1BE【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题24（8分）（2016秋嘉兴期中）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，
30、E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC=（1）求证：平面DEG平面BCF；（2）若D，E为AB，AC上的中点，H为BC中点，求异面直线AB与FH所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）运用面面平行的判定定理，可先证DG平面BCF，EG平面BCF，即可得到；（2）连接EH，运用中位线定理可得异面直线AB与FH所成角即为FHE，再由直角三角形的性质和余弦定理，即可得到所求值【解答】证明：（1）如题图1，在等边三角形ABC中，AB=AC，AD=AE，DEBC，DGBF，如题图2，DG平面BCF，DG平面BCF，（2分）同理可证EG平面BCF，DGEG=G，平面DEG平面BCF（4分）解：（2）连EH，EH是CAB的中位线，异面直线AB与FH所成角即为FHE（6分）BFC为RT，又cosFHE=（8分）【点评】本题考查面面平行的证明和异面直线所成角的求法，注意运用线面平行的判定定理和平移法，考查空间想象能力和推理及计算能力，属于中档题