1、2015年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，集合b=2，3，则（UA）B=（） A B 1，2，3，4 C 2，3，4 D 0，11，2，3，42已知直线ax+y1=0与直线x+ay1=0互相垂直，则a=（） A 1或1 B 1 C 1 D 03已知向量=（3cos，2）与向量=（3，4sin）平行，则锐角等于（） A B C D 4三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面，下列命题正确的是（） A 若a，a，则 B 若=a，则a C
2、若a，b，c，c，cb，则 D 若=a，c，c，c，则a5已知条件p：x23x40，条件q：x26x+9m20若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（） A 1，1 B 4，4 C （，44，+） D （，14，+）6已知直线l：xcos+ycos=2（R），圆C：x2+y2+2xcos+2ysin=0（R），则直线l与圆C的位置关系是（） A 相交 B 相切 C 相离 D 与，有关7如图，已知双曲线=1（a0，b0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且，则双曲线离心率e的取值范围为（） A ，2+ B ， C ， D ，+18已知函数f
3、（x）=，则下列关于函数y=ff（kx）+1+1（k0）的零点个数的判断正确的是（） A 当k0时，有3个零点；当k0时，有4个零点 B 当k0时，有4个零点；当k0时，有3个零点 C 无论k为何值，均有3个零点 D 无论k为何值，均有4个零点二、填空题（本大题共7小题，第912题每题6分，第1315题每题4分，共36分）9若实数x，y满足不等式组，目标函数z=x+2y，若a=1，则z的最大值为，若z存在最大值，则a的取值范围为10一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成则这个几何体可以看成是由 和组成的，若它的体积是，则a=11在ABC中，
4、若A=120，AB=1，BC=，=，则AC=；AD=12设等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=，的最大值为13M是抛物线y2=4x上一点，F是焦点，且MF=4过点M作准线l的垂线，垂足为K，则三角形MFK的面积为14设x，y，z0，满足xyz+y2+z2=8，则log4x+log2y+log2z的最大值是15正四面体OABC，其棱长为1若=x+y+z（0x，y，z1），且满足x+y+z1，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（14分）（2015浙江模拟）已知函数f（x）=12sin（x
5、+）sin（x+）cos（x+）（）求函数f（x）的最小正周期；（）当x，求函数f（x+）的值域17在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，CDA=120，点N在线段PB上，且PN=（）求证：MN平面PDC；（）求二面角APCB的余弦值18已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程19设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，bR）满足条件：当xR时，f（x）的最大值为0，且f
6、（x1）=f（3x）成立；二次函数f（x）的图象与直线y=2交于A、B两点，且|AB|=4（）求f（x）的解析式；（）求最小的实数n（n1），使得存在实数t，只要当xn，1时，就有f（x+t）2x成立20在数列an中，a1=3，an=，bn=an+2，n=2，3，（）求a2，a3，判断数列an的单调性并证明；（）求证：|an2|an12|（n=2，3，）；（）是否存在常数M，对任意n2，有b2b3bnM？若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由2015年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
7、合题目要求的）1设全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，集合b=2，3，则（UA）B=（） A B 1，2，3，4 C 2，3，4 D 0，11，2，3，4考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可解答： 解：全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，集合B=2，3，UA=3，4，则（UA）B=2，3，4，故选：C点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2已知直线ax+y1=0与直线x+ay1=0互相垂直，则a=（） A 1或1 B 1 C 1 D 0考点： 直线的一般式方程与直线的
8、垂直关系专题： 直线与圆分析： 直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案解答： 解：直线ax+y1=0与直线x+ay1=0互相垂直，1a+1a=0，即2a=0，解得：a=0故选：D点评： 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题3已知向量=（3cos，2）与向量=（3，4sin）平行，则锐角等于（） A B C D 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示专题： 三角函数的求值；平面向量及应用分析： 根据，列出方程，求出sin2=1，再根据是锐角，求出的值即可解答： 解：=（3cos，2），=（3，4sin），且；3cos4sin2
9、3=0，解得sin2=1；（0，），2（0，），2=，即=故选：A点评： 本题考查了平面向量平行的坐标表示，也考查了三角函数的求值问题，是基础题目4三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面，下列命题正确的是（） A 若a，a，则 B 若=a，则a C 若a，b，c，c，cb，则 D 若=a，c，c，c，则a考点： 空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 运用正方体，墙角线面，同一法，直线平面的垂直的定理的关键条件，判断即可解答： 解：在正方体中可以判断，A命题不正确；设作a，a是过a直线上一点O的直线，=a，a，a，a=，=a，而2个平面的交线只有一条，a与a重合，
10、故a，故答案B是 正确的命题当ab时，C命题不正确；当，两两相交于同一条直线a时，也存在=a，c，c，c，这种情况，故D命题不正确，故选：B点评： 本题综合考查了空间直线，平面的常见的位置关系，难度不大，可以借助正方体，墙角，几何模型判断，属于中档题5已知条件p：x23x40，条件q：x26x+9m20若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（） A 1，1 B 4，4 C （，44，+） D （，14，+）考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 先将条件p，q化简，然后利用p是q的充分不必要条件，确定参数a的取值范围解答： 解：由x23x40得1x4，即p：1x4
11、，由x26x+9m20得x（3m）x（3+m）0，若m0，则不等式等价为3mx3+m，若p是q的充分不必要条件，则，即，解得m4若m0，则不等式等价为3+mx3m，若p是q的充分不必要条件，则，即，解得m4综上m4或m4，故m的取值范围是（，44，+）故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用根据条件求出不等式的解是解决本题的关键注意要进行分类讨论6已知直线l：xcos+ycos=2（R），圆C：x2+y2+2xcos+2ysin=0（R），则直线l与圆C的位置关系是（） A 相交 B 相切 C 相离 D 与，有关考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 把圆的方程化为标准形
12、式，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，从而得出结论解答： 解：圆C：x2+y2+2xcos+2ysin=0（R），即（x+cos）2+（y+sin）2=1，圆心C（cos，sin），半径为r=1圆心C到直线l：xcos+ycos=2的距离为d=2+cos（），当cos（）=1时，d=r，直线和圆相切；当cos（）1时，dr，直线和圆相离，故选：D点评： 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题7如图，已知双曲线=1（a0，b0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且，则
13、双曲线离心率e的取值范围为（） A ，2+ B ， C ， D ，+1考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用SABF=2SAOF，先求出e2=，再根据，即可求出双曲线离心率的取值范围解答： 解：设左焦点为F，令|AF|=r1，|AF|=r2，则|BF|=|FA|=r2，r2r1=2a，点A关于原点O的对称点为B，AFBF，|OA|=|OB|=|OF|=c，r22+r124c2，r1r2=2（c2a2）SABF=2SAOF，r1r22c2sin2，r1r22c2sin2c2sin2=c2a2e2=，sin2，e2=2，（+1）2e，+1故选：B点评： 本题
14、考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用8已知函数f（x）=，则下列关于函数y=ff（kx）+1+1（k0）的零点个数的判断正确的是（） A 当k0时，有3个零点；当k0时，有4个零点 B 当k0时，有4个零点；当k0时，有3个零点 C 无论k为何值，均有3个零点 D 无论k为何值，均有4个零点考点： 函数零点的判定定理专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 函数y=ff（kx）+1+1（k0）的零点个数即方程ff（kx）+1+1=0的解的个数，从而解方程可得解答： 解：令ff（kx）+1+1=0得，或解得，f（kx）+1=0或f（kx）+1=
15、；由f（kx）+1=0得，或；即x=0或kx=；由f（kx）+1=得，或；即ekx=1+，（无解）或kx=；综上所述，x=0或kx=或kx=；故无论k为何值，均有3个解；故选C点评： 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题二、填空题（本大题共7小题，第912题每题6分，第1315题每题4分，共36分）9若实数x，y满足不等式组，目标函数z=x+2y，若a=1，则z的最大值为6，若z存在最大值，则a的取值范围为（0，10）考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值若z存在最大值，利用数形结合确定满足条
16、件的不等式关系即可解答： 解：（1）若a=1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+2y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y，得z=22+2=6（2）由ax+y4，得yax+4，则直线y=ax+4过定点（0，4），若a0，即a0时，目标函数z=x+2y无最大值，此时不满足条件若a0，即a0时，要使z存在最大值，则满足点B在直线ax+y=4的下方，由，解得，即B（，1）即，则，解得0a10，故此时a的取值范围为（0，10）故答案为：6，（0，10）点评： 本题
17、主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法10一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成则这个几何体可以看成是由一个三棱锥 和半个圆锥组成的，若它的体积是，则a=1考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 几何体是一个三棱锥与半个圆锥组成，根据三视图的数据判断三棱锥的底面是底边长为2，高为1的等腰三角形，三棱锥的高为a，半个圆锥底面半径为1，高为1，把数据代入体积公式计算解答： 解：由三视图知：几何体是一个三棱锥与半个圆锥组成，其中三棱锥的底面是底边长为2，高为1的等
18、腰三角形，三棱锥的高为a，半个圆锥底面半径为1，高为1几何体的体积V=+=，a=1故答案为：一个三棱锥，半个圆锥，1点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键11在ABC中，若A=120，AB=1，BC=，=，则AC=3；AD=考点： 余弦定理；线段的定比分点专题： 解三角形分析： 由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，代入解得b利用余弦定理可得cosB=由=，可得=在AB中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD22ABBDcosB即可得出解答： 解：由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，化为b2+b12=0，解得b
19、=3cosB=，=在AB中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD22ABBDcosB=1+=，解得AD=故答案分别为：3；点评： 本题考查了余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12设等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=72，的最大值为64考点： 等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由a2+a4+a9=24结合等差数列的通项公式求得a5，代入等差数列的前n项和公式得答案；直接由等差数列的前n项和把转化为含有d的代数式求得最大值解答： 解：在等差数列an中，由a2+a4+a9=24，得3a1+12d=24，即a1+4d=8，a5=
20、8S9=9a5=98=72；=故答案为：72；64点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题13M是抛物线y2=4x上一点，F是焦点，且MF=4过点M作准线l的垂线，垂足为K，则三角形MFK的面积为考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 如图所示，F（1，0）设M（x0，y0），利用抛物线的定义可得|MF|=|MK|=x0+1=4，解得x0，代入抛物线方程y0，利用三角形MFK的面积S=即可得出解答： 解：如图所示，F（1，0）设M（x0，y0），|MF|=4，4=|MK|=x0+1，解得x0=3，代入抛物线方程可得=43，解得，三角形M
21、FK的面积S=4故答案为：4点评： 本题考查了抛物线的定义及其性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14设x，y，z0，满足xyz+y2+z2=8，则log4x+log2y+log2z的最大值是考点： 基本不等式；对数的运算性质专题： 不等式的解法及应用；不等式分析： 直接利用基本不等式求得xy2z28，然后利用对数的运算性质求得log4x+log2y+log2z的最大值解答： 解：x、y、z0，xyz+y2+z2=8xy2z2=yz8（y2+z2）yz（82yz）=2yz（4yz）2（）2=8，当且仅当y=z=，x=2时等号成立log4x+log2y+log2z=l
22、og4xy2z2log48=故答案为：点评： 本题考查了对数的运算性质，训练了基本不等式在最值问题中的应用，是中档题15正四面体OABC，其棱长为1若=x+y+z（0x，y，z1），且满足x+y+z1，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为考点： 空间向量的基本定理及其意义；平面向量的基本定理及其意义专题： 空间向量及应用分析： 由题意可得点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC的部分，由体积公式计算即可解答： 解：由题意可得点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC的部分，由已知数据可得SOAB=11sin60=，C到OAB的高h=，体积V=2=故答案为：点
23、评： 本题考查空间向量基本不等式，涉及几何体的体积公式，属基础题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（14分）（2015浙江模拟）已知函数f（x）=12sin（x+）sin（x+）cos（x+）（）求函数f（x）的最小正周期；（）当x，求函数f（x+）的值域考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： （）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的最小正周期公式求出结果（）直接利用函数的定义域求出函数关系式的值域解答： 解：（I）函数f（x）=12sin
24、（x+）sin（x+）cos（x+）=12+=+=cos2x（5分）所以，f（x）的最小正周期（7分）（）由（I）可知（9分）由于x，所以：，（11分）所以：，则：，（14分）点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的周期的求法，利用函数的定义域求函数的值域17在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，CDA=120，点N在线段PB上，且PN=（）求证：MN平面PDC；（）求二面角APCB的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用分析： （）在正
25、三角形ABC中，BM=2，在ACD中，由M为AC中点，DMAC，可得AD=CD，又CDA=120，可得DM=，得到在等腰直角三角形PAB中，可得，得到，MNPD再利用线面平行的判定定理即可证明（）由BAD=BAC+CAD=90，可得ABAD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，可得B（4，0，0），P（0，0，4）由（）可知，=为平面PAC的法向量，设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），利用，可得平面PBC的一个法向量为，利用向量的夹角公式即可得出解答： （）证明：在正三角形ABC中，BM=2，在ACD中，M为AC中点，DMAC，AD=CD，又CDA=120
26、，DM=，在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=4，PB=4，MNPD又MN平面PDC，PD平面PDC，MN平面PDC（）解：BAD=BAC+CAD=90，ABAD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，B（4，0，0），P（0，0，4）由（）可知，=为平面PAC的法向量，=，=（4，0，4），设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令z=3，解得x=3，y=，则平面PBC的一个法向量为=，设二面角APCB的大小为，则cos=，二面角aAPCB余弦值为点评： 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例的判定定理，考查了通过建立空间直角坐
27、标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力18已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可解答： 解：设A（x1，y1），B（x2
28、，y2），（）由得4x2+2x+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|=，解得a=2（）由，得（3+k2）x2+2kx+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，由=2得（x1，1y1）=2（x2，y21），解得x1=2x2，代入上式得：x1+x2=x2=，则x2=，=，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=2x22=2，又x1x2=，则=，解得a=5所以，AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5点评： 本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键19设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，bR）满足条件
29、：当xR时，f（x）的最大值为0，且f（x1）=f（3x）成立；二次函数f（x）的图象与直线y=2交于A、B两点，且|AB|=4（）求f（x）的解析式；（）求最小的实数n（n1），使得存在实数t，只要当xn，1时，就有f（x+t）2x成立考点： 二次函数的性质；函数恒成立问题专题： 函数的性质及应用分析： （）根据题意可假设f（x）=a（x1）2（a0），令a（x1）2=2，x=1，求解即可得出解析式（）利用不等式解得t1x，又f（x+t）2x在xn，1时恒成立，转化为令g（t）=t12，易知g（t）=t12单调递减，所以，g（t）g（4）=9，得出n能取到的最小实数为9解答： 解：（）由f（
30、x1）=f（3x）可知函数f（x）的对称轴为x=1，由f（x）的最大值为0，可假设f（x）=a（x1）2（a0）令a（x1）2=2，x=1，则易知2=4，a=所以，f（x）=（x1）2（）由f（x+t）2x可得，（x1+t）22x，即x2+2（t+1）x+（t1）20，解得t1x，又f（x+t）2x在xn，1时恒成立，可得由（2）得0t4令g（t）=t12，易知g（t）=t12单调递减，所以，g（t）g（4）=9，由于只需存在实数，故n9，则n能取到的最小实数为9此时，存在实数t=4，只要当xn，1时，就有f（x+t）2x成立点评： 本题考查了函数的解析式的求解，方程组求解问题，分类讨论求解，
31、属于中档题20在数列an中，a1=3，an=，bn=an+2，n=2，3，（）求a2，a3，判断数列an的单调性并证明；（）求证：|an2|an12|（n=2，3，）；（）是否存在常数M，对任意n2，有b2b3bnM？若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由考点： 数列递推式；数列与不等式的综合专题： 点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用分析： （）由a1=3，an=，得，且可知an0再由an=，两边平方得，进一步得到，两式作差可得an+1an与anan1同号由0易知，anan10，即anan1，可知数列an单调递减；（）由，可得，（an2）（an+2）=an12，进一步得到由an2
32、与an12同号，可得an20，即an2，可得，则|an2|an12|；（）由（an2）（an+2）=an12，得，即，累积后由|an2|an12|，可知|an2|an12|=，得，由an2，得结合当n时，4n1，说明不存在常数M，对任意n2，有b2b3bnM成立解答： （）解：由a1=3，an=，得，且可知an0由an=，得（1），则有（2），由（2）（1）得：，（an+1+an）（an+1an）=anan1，an0，an+1an与anan1同号由0，易知，anan10，即anan1，可知数列an单调递减；（）证明：由，可得，（an2）（an+2）=an12，由（an2）（an+2）=an12，易知，an2与an12同号，由于a12=320，可知，an20，即an2，an+24，|an2|an12|，得证；（）解：（an2）（an+2）=an12，即，则=由|an2|an12|，可知，|an2|an12|=，an2，当n时，4n1，故不存在常数M，对任意n2，有b2b3bnM成立点评： 本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，训练了放缩法证明数列不等式，属难题