1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第三课时空间向量与空间角课时跟踪检测一、选择题1已知平面的一个法向量为n1，平面的一个法向量为n2(1，1,1)，则平面与所成的角为()A30B45C60 D90解析：n1n20，与所成的角为90.答案：D2设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A. BC. D解析：如图所示，直线l与平面所成的角.答案：C3已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60角的向量是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)解析：设b(1，1,0)，则cosa，b，b与a的夹角为60.答
2、案：B4(2019牡丹江中学高二期中)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为()A. BC. D或解析：，这个二面角的余弦值为或.答案：D5在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为()A. BC. D解析：以D为坐标原点，建系如图，则B(1,2,0)，C1(0,2,2)，A(1,0,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,2,1)则cos，异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为.答案：B6(2019江苏无锡高二期末)如图所示，已知点P为菱
3、形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC.点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. BC. D解析：如图，连接OF，四边ABCD为菱形，O为AC的中点，ACBD.F为PC的中点，OFPA.PA平面ABCD，OF平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，B，0,0，F0,0，C0，0，D，0,0，结合图形可知，0，0，且为平面BDF的一个法向量由，0，0，可求得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，tann，.答案：D二、填空题7若平面的一个法向量为m(1，2,1)，平面的一个
4、法向量为n(0,1,1)，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_解析：与所成的锐二面角为，则cos .答案：8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形PA平面ABCD，且PAAB1，则平面PAD与平面PBC所成的角的大小为_解析：建立如图所示的直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)显然平面PAD的一个法向量为m(1,0,0)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则z1，n(1,0,1)又cosm，n.故平面PAD与平面PBC所成的角为45.答案：459(2018浙江高二期末)在三棱锥OABC中，已知
5、OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BPBC，AQAO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是_解析：根据题意，以O为原点，分别以OA，OB，OC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P(0，b,1b)b1，Q(a,0,0)0a.(a，b,1b)，(0,1,0)，所以cos，.因为0,11,2所以当a0，b1时，cos，1取得最大值；当ab时，cos，取得最小值，所以PQ和OB所成角的余弦的取值范围是，1.答案：，1三、解答题10(2019全国卷)如图，直四棱柱
6、ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设，知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(
7、1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.11. (2018衡水模拟)如图，多面体APCBE中，四边形PCBE是直角梯形，且PCBC，PEBC，平面PCBE平面ABC，ACBE，M是AE的中点，N是PA上的点(1)若MN平面ABC，求证：N是PA的中点；(2)若PEBC，且ACBCPC，求二面角EABC的余弦值解：(1)证明：PEBC，PE平面ABC，BC平面ABC，PE平
8、面ABC.A平面ABC，A平面PEA，平面ABC平面PEAl且Al.PE平面PEA，PEl.MN平面ABC，同理，MNl.MNPE.M是AE的中点，N是PA的中点(2)平面PCBE平面ABC，平面PCBE平面ABCBC，PCBC，PC平面ABC，则PCAC.在梯形PCBE中，PEBC，PC与BE相交ACBE，AC平面PCBE.BC平面PCBE，ACBC.CA，CB，CP两两垂直则以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC3a，则E(0，a,3a)，A(3a,0,0)，B(0,3a,0)，C(0,0,0)，P(0,0,3a)，(3a，a，3
9、a)，(0,2a，3a)由上知，(0,0,3a)是平面ABC的一个法向量设u(x，y，z)是平面EAB的法向量由得不妨取u(3,3,2)cosu，.由图知，二面角EABC为锐二面角，二面角EABC的余弦值为.12. (2018全国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解：(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF，又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF，垂足为H，由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE，又DP2，DE1，所以PE，又PF1，EF2，所以PEPF.从而可得PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，为平面ABFD的一个法向量设DP与平面ABFD所成的角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.13(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. BC. D解析：如图所示，()().答案：A