1、甘肃省金昌市第一中学2021届高三数学下学期一模考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则的真子集个数为（ )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2. 若为虚数单位，则（ ）A. B . C. D.43.已知则的值为（ )A. B.7 C. D.84.若过楠圆的上顶点与左顶点的直线方程为则楠圆的标准方程为（ )A. B. C. D.5.已知等比数列中，则公比为（ )A. B.2 C. D.6.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价(单位：元）和销售量(单位：百个）之间的四组数据如下
2、表：售价x4a5.56销售量y1211109用最小二乘法求得销售量与售价之间的线性回归方程,那么表中实数的值为（ )A.4 B. C D7. 函数的图象大致是（ )A. B. C. D.8.周牌算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为,正方形的边长为若在圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ )A. B. C. D. 9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm),则该几何体的体积（单位：cm)是（ )A. B. C. D.10.函数的图象所有点的横坐标变为原来的2倍
3、，纵坐标不变，得到函数)的图象，则下列说法不正确的是（ )A. 函数的最小正周期为B. B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于对称D.函数)在上递增11.景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为厘米，则瓶口直径为（ )A.20 B.30 C.40 D.5012.已知若时，,则的取值范围是（ )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量,若,则向量夹角的余弦值为_;14.4名同学
4、到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种.15.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是等腰直角三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于_.16.已知是两条不同的直线，是两个不同平面，则以下命题不成立的是_;(1) 若,则.(2)若,则(3)若,则.(4)若,则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等差数列（的前项和为数列为等比数列，满足是与的等差中项。(1)求数列，的通项公式；(2)从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列,设数列的前项和为,求18.如图，
5、已知为圆的直径，点为线段上一点，且,点为圆上一点，且垂直于圆所在平面，.(1)求证：:(2)求二面角的余弦值.19.第五代杨动通信技术（英语：5th generation mobile networks或h generation wireless sys-tems、5th-Generation,简称5G或5G技术）是最新种蜂窝移动通信技术，也是继4G(LTE-A、WiMax)、3G(UMTS、LTE)和2G(GSM)系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取100名学生参与测试，并将
6、得分绘制成如下频数分布表：得分男性人数4912131163女性人数122211042(1)将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”(得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计(2)以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率，现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为,求的分布列和数学期望.附：临界值表：0.100.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87
7、910.82820.如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点为坐标原点，点,均在抛物线上.(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当的科率存在且倾倾斜角互补时，证明：直线的斜率为定值.21. 设函数(1)当时，求函数在上的最值：(2)若函数在上单调递减，求实数的最大值。22.直角坐标系中，曲线,以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：.(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程：(2)在曲线上求一点,使它到直线的距离最小，并求出最小值.金昌市第一中学高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案1 B 2D 3B 4C 5B 6D 7C 8A 9B10D因为，将的图象所有点的横坐
8、标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，即可知函数的最小正周期为，故A正确；当时，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；当时，所以函数的图象关于对称，故C正确；因为，故D错误.11A因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，因为离心率为，即，可得，所以，所以双曲线的方程为：，因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，将代入双曲线可得，解得：，所以瓶口直径为，12C因为，所以，且定义域为关于原点对称，所以是奇函数，又因为，所以在上单调递增，又因为，所以，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以即可，又由对勾函数的单调性可知在上单
9、调递增，所以，所以，即，13 1415因为与球心在同一平面内，所以是的外心，设球半径为，则，当到所在面的距离为球的半径时，三棱锥体积最大，故所以， 解得，故球表面积为,16（1）（2）（4）由，是两条不同的直线，是两个不同平面，知：在（1）中，若，则与平行或异面，错误；在（2）中，若，则与相交、平行或，错误；在（3）中，若，则由面面垂直的判定定理得，正确；在（4）中，若，则与相交或平行，错误17（1），；（2）4302.（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，是与的等差中项，又，解得 （2）数列前项中与数列的公共项共用项，且最大公共项为又，.18（1）如图，连接，由知，点为的中点，又因为为
10、圆的直径，所以，由知，所以为等边三角形，从而，因为平面，又平面，所以，由，得平面，又平面，所以；（2）以为原点，、和所在直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，得，所以，所以，由平面，知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，得，令，得，设二面角的平面角的大小为，由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为.19（1）表格见解析，有的把握；（2）分布列见解析，.（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男性 女性 合计 . 因为，所以有的把握认为学生对“”的了解程度与性别有关；（2）由题意抽取的名学生中“比较了解”的频率为，故抽取该校名学生对“”技术“比较了解”的
11、概率为， ，1，2，3，即的分布列如下 所以.20（1）抛物线的方程是y24x，准线方程是x1；（2）证明见解析（1）由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上， 所以x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB21（1）最小值为，最大值为；（2）2（1）因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增则在，上的最小值为，又（1），（1），则函数在，上的最大值为，综上： 在，上的最小值为，最大值为；（2）由已知得在，上恒成立，因为，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，因为函数在，上单调递增，所以当时，函数取得最小值为，所以，故实数的最大值为22（1），(为参数)；（2），.（1）由得的直角坐标方程为，即，由得曲线的参数方程为(为参数)；（2）设，则到直线的距离为时，.，.
