1、第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1(2019大庆市模拟)已知双曲线1，则该双曲线的渐近线方程为()A9x4y0 B4x9y0C3x2y0 D2x3y0解析：令0，得4x29y2，2x3y，渐近线方程为2x3y0.答案：D2(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：e，e213.，渐近线方程为yx.答案：A3(2019淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若ABF2是
2、等边三角形，则该双曲线的离心率为()A. B C. D解析：设等边三角形边长|BF2|m，且设|AF1|x，根据双曲线的定义有mxmmx2a，解得m4a，x2a.在BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2(6a)2(4a)226a4acos，化简得4c228a2，即e.答案：D4已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D1解析：由已知，得解得a3，b4.双曲线方程为1.答案：A5点P在双曲线1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2的三条
3、边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2 B3C4 D5解析：不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|分别为md，m，md，(d0)，由题意，得解得m4d8a,2c5d，e5.答案：D6设F1，F2分别是双曲线M：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足0，则双曲线的离心率e的取值范围是()A1e1C1e解析：由双曲线的对称性可知，ABF2是等腰三角形，且AF2B是钝角，所以AF2F1AF2B1，即1.又|AF1|，所以1，即c2a22ac，化简得e22e10，解得e1或e1(舍去)答案：B二、填空题7(2018北京卷)若双曲线1(a
4、0)的离心率为，则a_.解析：由已知，得e，ca.又c2a24，a2a24，a216.又a0，a4.答案：48已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(，0)，则a_，b_.解析：1的渐近线方程为yx，又1的渐近线方程为y2x，2，即b2a.又C1的右焦点F( ，0)，a2b25a25，a21，a1，b2.答案：129设双曲线C：1(a0，b0)经过点(4,1)，且与y21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_解析：由题意，得解得双曲线C的方程为1，渐近线方程为yx.答案：1yx三、解答题10求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的一条
5、渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264共焦点；(2)与双曲线1有共同渐近线，且经过点(3，2)解：(1)解法一：椭圆方程可化为1，易得焦点是(4，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，其渐近线方程是yx，则.代入a2b2c248，解得a236，b212.所以所求双曲线的标准方程为1.解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为xy0，则另一条渐近线为xy0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x23y2(0)，即1.由椭圆方程1，知c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，则48，所以36.所以所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)，将点(3，2)代入双曲线方程，得
6、，解得.所以所求双曲线的标准方程为1.11(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两渐近线的夹角解：(1)双曲线的渐近线为yx，或.又e ，当时，e；当时，e.(2)e，ab，双曲线渐近线方程为yx，双曲线的两条渐近线的夹角为90.12设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率解：由直线l过(a,0)，(0，b)两点，得l的方程为bxayab0，由原点到l的距离为c，得c，将b代入3216160，即3e416e2160，e或e2.ba0，e，e应舍去，故所求离心率为2.13(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则双曲线C的离心率为()A. B C2 D解析：以OF为直径的圆x2y2，减去x2y2a2得，cxa2，即x为两圆公共弦方程，弦长为c，半弦长，O到x的距离为，半径为a，三者满足勾股定理，a2，化简得，c44a44a2c20，解得c22a2，e.答案：A