1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 直接证明学习目标1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法 2理解分析法和综合法的思考过程和特点 3会用分析法和综合法证明数学问题 课前自主学案 1观察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为1323334353(12345)2.2将下面演绎推理写成“三段论”的形式：一切奇数都不能被2整除，220111是奇数，所以220111不能被2整除 温固夯基 一切奇数都不能被2整除，(大前提)220111是奇数，(小前提)220111不能被2整除(结论)1直接证明(1)直接从原命题的条件逐步
2、推得命题成立，这种证明通常称为_ 知新益能 直接证明(2)直接证明的一般形式为：本题条件已知定义已知公理已知定理_本题结论2综合法(1)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为_(2)综合法的推证过程是：_ _ 综合法已知条件结论3分析法(1)从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为_(2)分析法的推证过程是：_ _ 分析法结论已知条件1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都
3、是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2从证明过程看，分析法与综合法有什么区别？提示：分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”问题探究 课堂互动讲练 综合法的应用考点突破 由于综合法证明是一个发散思维的过程，在审题时，要尽可能地挖掘题目条件提供的信息，熟练地对文字语言、符号语言、图形语言进行转换，对做过的题目、学过的方法加强记忆，对每一个条件的使用方向更明确已知直线l：3xy60和圆C：x2y22y40，求证：直线l与圆C有两个公共点例1【思路点拨】由于题目已经告诉了直线与圆的方程，故只需求出圆心到直线的距离，然后把它与半径进行比较得出直线与圆的位置关系
4、，这样就可以确定交点个数了因此，解决本题的关键就是求出圆心到直线的距离和半径，然后作比较【证明】将圆 C 的方程化成标准方程 x2(y1)25，可得圆心坐标为 C(0,1)，半径 r 5.圆心 C 到直线 l 的距离为d|3016|3212 510 5.所以直线 l 与圆 C 相交，即直线 l 与圆 C 有两个公共点【名师点评】综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立因此，由题目的条件和待求结论，联想有关的性质，是综合法的基本思路 变式训练 1 已知 a，b，c 均为正数，且 abc1，求证：(1)a2b2c213；(2)a b c
5、3.证明：(1)abc1，(abc)21.a2b2c22ab2bc2ca1.又 2aba2b2,2bcb2c2,2cac2a2，2ab2bc2ca2(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca3(a2b2c2)又由可得 a2b2c213.(2)a，b，c 均为正数，a b2ab，b c2bc，c a2 ca.2(abc)2(ab bc ca)abc2 ab2 bc2 ca3(abc)3.(a b c)23.a b c 3.分析法的应用 分析法的思考顺序是执果索因的顺序，最终要依据已知条件或已知的公理或定理(本题满分14分)设a、b、c为任意三角形的三边长，Iabc，Sabbcca，试证：3S
6、I24S.例2【思路点拨】由I求得I2 对要证的不等式进行简化 利用分析法证明左侧不等式成立 利用分析法证明右侧不等式成立 【规范解答】由I2(abc)2a2b2c22(ab bc ca)a2 b2 c2 2S，故 要 证3SI24S，只需证3Sa2b2c22S4S，即Sa2b2c22S(这对于保证结论成立是充分必要的)5分 欲证式左部分，只需证a2b2c2abbcca0，即只需证(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0(这对于保证前一式结论成立也是充要的).7分要证上式成立，可证三括号中式子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的，但它并不必要)，注意到：a2b22ab(a
7、b)20，b2c22bc(bc)20，c2a22ca(ca)20，故结论真.9分欲证式右部分，只需证a2b2c22ab2bc2ca0，即要证(a2abac)(b2bcba)(c2cacb)0.12分欲证上式，则要证以上三个括号中式子都小于零，即要证a2abac，b2bcba，c2cacb为真也就是要证abc，bca，c0，b0,2cab，求证：c c2abac c2ab.证明：要证 c c2abac c2ab，只需证 c2abac c2ab，只需证|ac|c2ab，即证(ac)2c2ab，即证 a22ac0，只需证 a2cb，即证 ab2c，这为已知故原不等式成立在解决问题时，我们经常把综合法
8、和分析法结合起来使用：以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理的表述过程 分析法与综合法的综合应用例3 设函数 f(x)ax2bxc(a0)，若函数 yf(x1)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称，求证 fx12 为偶函数【思路点拨】因为函数 yf(x)的图象的对称轴为 x b2a，所以函数 yf(x1)的图象的对称轴为 xb2a1，函数 yfx12 的图象的对称轴为 x b2a12，只要证明 b2a120 即可【证明】要证 fx12 为偶函数，只需证明其图象的对称轴为 x0，即只需证 b2a120，即证 ab，根据已知条件可知抛物线 f(x1)的对称轴 x b2a1 与抛物线 f(x)的
9、对称轴 x b2a关于 y 轴对称，所以 b2a1b2a，所以 ab，所以 f(x12)为偶函数【名师点评】本题前半部分用的是分析法，要证结论成立，只需证明ab，后半部分用的是综合法，证明了ab.本题是一道典型的综合应用分析法与综合法解题的问题 变式训练3 若sincos1，求证sin6cos61.证明：sin6cos6(sin2)3(cos2)3(sin2cos2)(sin4sin2cos2cos4)sin42sin2cos2cos43sin2cos2 13sin2cos2，要证sin6cos61，只需证sin2cos20.由sincos1，两边平方得2sincos0，sin2cos20.sin6cos61.1综合法与分析法的思路是互逆的，综合法是由条件出发去证结论，即“执因推果”，而分析法是由结论出发去寻找使结论成立的条件，即“执果索因”习惯上，综合法的证明过程一路用“”表示，分析法的证明过程一路用“”表示 2分析法的解题方向较为明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程 方法感悟 3在解决某些问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立