1、高考大题规范解答系列(一)函数与导数考点一利用导数解决与函数有关的极、最值问题例1 (2019课标，20,12分)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由【标准答案】规范答题步步得分(1)f(x)6x22ax2x(3xa).1分令f(x)0，得x0或x.2分若a0，则当x(，0)(，)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，0)，(，)单调递增，在(0，)单调递减.3分若a0，f(x)在(，)单调递增.4分若a0；当x(，0)时，f(x)
2、0.故f(x)在(，)，(0，)单调递增，在(，0)单调递减.5分(2)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1,2ab1，即a0，b1.7分()当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.9分()当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为f()b，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab
3、1，则a3或a3或a0.与0a0时，求对单调区间得1分当a0时，求对单调区间得1分当a0时，求对单调区间得1分分类讨论，当a0时，根据题意求对a、b得2分当a3时，求对a，b得2分当0a3时，求对a，b对2分总结叙述得1分【名师点评】1核心素养：利用导数研究函数的极、最值问题，首先对函数求导，分解因式，分类讨论函数在给定区间的增减情况确定极最值，重点考查学生数学运算、逻辑推理及分类的数学核心素养2解题技巧：(1)求出f(x)0的两根，比较根的大小并分类讨论(2)利用(1)中的单调区间讨论f(x)在0,1上的最值，最终确定参数a，b的值变式训练1(2020长春市第二次质量监测)已知函数f(x)(
4、a1)ln xx(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为2，求实数a的值解析(1)a2时，f(x)ln xx，f(x)1，f(2)ln 23，f(2)0，所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为yln 23.(2)f(x)1(1x3)，当a1时，f(x)0，f(x)在1,3上单调递减，所以f(1)2，a1；当a3时，f(x)0，f(x)在1,3上单调递增，所以f(3)2，a3，舍去；当1a3时，f(x)在(1，a)上单调递增，在(a,3)上单调递减，所以f(a)2，ae.综上，a1或ae.考点二利用导数解决与不等式有关的函
5、数问题例2 (2018课标，21)已知函数f(x)xaln x，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.【分析】看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导看到证明2，令f(x)0，得x或x.当x(0，)(，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，)，(，)上单调递减，在(，)上单调递增.6分(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2，满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11，由于1a2a2a，8分所以a2等价于x22ln x20.9分设函数g(x)x2ln x，1
6、0分由(1)知，g(x)在(0，)单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0，所以x22ln x20，即0时，f(x)的单调性，正确得2分化简2a正确得2分分析证明a2转化为x22ln x20正确得1分构造函数g(x)x2ln x正确得1分判断函数g(x)x2ln x在(1，)单调性，并得出结论得2分【名师点评】1核心素养：利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考命题的热点问题本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养2解题技巧：(1)讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏(2)构造函数：构造新函数是导数综合问题的常
7、用方法，如本题第(2)问构造函数g(x)x2ln x.变式训练2(2020河南省郑州市高三第二次质量预测)设函数f(x)ax2(x1)ln x(aR)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0x.解析(1)f(x)2axln x1，由题意可得f(1)2a20，a1.(2)要证f(x)x(0，即证xln x，令g(x)xln x，h(x)，由g(x)10，解得x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，故g(x)ming(1)1，由h(x)可知h(x)在(0,2上单调递增，故h(x)maxh(2)1g(x)min，故h(x)x.考点三利用导数
8、解决与函数零点有关的问题例3 (2020山东省青岛市高三模拟检测)已知函数f(x)aexxa，e2.71828是自然对数的底数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围【分析】看到单调性想到求函数f(x)的导数看到f(x)恰有2个零点，想到f(x)0有两解或yf(x)图象与x轴有两个交点【标准答案】规范答题步步得分(1)f(x)aex1，1分当a0时，f(x)aex10，所以x(，)，f(x)0时，令f(x)aex10，得xln a；所以x(，ln a)时，f(x)0，f(x)在(ln a，)上单调递增.4分(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(，)上单
9、调递减；又知f(0)0，所以f(x)仅有1个零点；5分当0a1时，f(0)0，所以f(ln a)0，取f(2ln a)2ln aa，令函数g(a)2ln aa，得g(a)g(1)0，所以f(2ln a)2ln aa0得f(x)在(ln a，2ln a)上也有1个零点，8分当a1时，f(x)f(0)0，所以f(x)仅有1个零点，9分当a1时，f(0)0，所以f(ln a)1得h(a)10，所以h(a)h(1)0，所以aln a，a0，得f(x)在(a，ln a)上也有1个零点，综上可知：若f(x)恰有2个零点，则a(0,1)(1，).12分【评分细则】求对导函数得1分求对a0单调区间得1分求对a
10、0单调区间得2分求对a0时f(x)只有一个零点得1分求对0a1时f(x)有两个零点，并进行综述得3分【名师点评】1核心素养：本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算2解题技巧：(1)通过求导，分类讨论，进而求单调区间(2)通过(1)的分析知道函数f(x)的单调性、最值，讨论f(x)零点的个数，从而得出结论变式训练3(2020福建省高三质量检查测试)已知函数f(x)a(x)2ln x.(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若a，证明：f(x)恰有三个零点解析(1)f(x)的定义域为(0
11、，)，f(x)a(1).当a0时，因为x0，所以ax22xa0，所以f(x)0时，令f(x)0，得ax22xa0.当a1时，44a20，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(0，)当0a0，由ax22xa0得x1，x2.因为0ax10，所以当x(0，)或x(，)时，f(x)0，当x(，)时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(0，)和(，)，单调递减区间为(，)综上，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当0a0，f(2)0.因为0e32，f(e3)(e3)2ln e3670，e32，所以f(x)在(2，)内有唯一零点综上，当a时，f
12、(x)恰有三个零点解法二：当a时，要证f(x)恰有三个零点，等价于x214xln x0恰有三个不等实根令g(x)x214xln x，则g(x)2x4ln x4(x0)令h(x)2x4ln x4(x0)，则h(x)2，令20，得x2.当x(0,2)时，h(x)0，所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)单调递增所以h(x)minh(2)4ln 20，h(1)20,02，所以h(x)在(0,2)内存在唯一零点x1，在(2，)为存在唯一零点x2，且x1(，1)，x2(2，e2)故当x(0，x1)时，h(x)0；当x(x1，x2)时，h(x)0.所以当x(0，x1)时，g(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)单调递减，当x(x2，)时，f(x)单调递增又g(x1)g(1)0，g(x2)g(1)0，所以g(x)在(x1，x2)存在唯一零点1，因为g()10，所以存在唯一的x3(0，x1)，使得g(x3)0，存在唯一的x4(x2，)，使得g(x4)0，且x3(，x1)，x4(x2，e3)综上g(x)0恰有三个不同的根x3,1，x4，即f(x)恰有三个零点
