1、等比数列的基本量运算【例1】已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.研究等差数列或等比数列，通常向首项a1，公差d(或公比q)转化在a1，an，d(或q)，Sn，n五个基本量中，能“知三求二”【变式练习1】等比数列an的前n项和为Sn，已知S41，S83.求：(1)等比数列an的公比q；(2)a17a18a19a20的值等比数列的判定与证明【例2】设数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)若anSnn，(1)设cnan1，求证：数列cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式判断一个数列是等比数列的方法有定义法、等比中项法，或者从通项公式、求和公
2、式的形式上判断证明一个数列是等比数列的方法有定义法和等比中项法，注意等比数列中不能有任意一项是0.等比数列的公式及性质的综合应用(2)证明：因为S7271，S142141，S212211，所以S14S727(271)，S21S14214(271)，所以S7(S21S14)214(271)2(S14S7)2，所以S7，S14S7，S21S14成等比数列(3)因为f(n)bn4an2n 1(nN*)，所以bnf(n)的图象是函数f(x)2x1的图象上的一列孤立的点(图略)本题主要考查三个方面：一是由两个给出的等式，解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求得通项公式及前n项和公式，要求记牢公式和细心
3、运算；二是用等比中项的方法证明三个数成等比数列一般地，三个非零实数a、b、c满足b2ac，则a、b、c成等比数列；三是考查等比数列的图象此题不难，但较全面地考查了等比数列的有关知识，对复习基础知识是很有帮助的等差数列与等比数列的综合应用此题抓住等比数列中的项不可能是原来等差数列中的连续3项或3项以上，这实质上是一个数列如果既是等差数列，同时又是等比数列，则必定是公差为0的非零常数数列因为在等差数列的公差d0时，不能构成等比数列，所以只有n4可能适合题意，从而将问题大大简化【变式练习4】已知数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的
4、前n项和记为Sn，证明：Sn128.【解析】(1)设等比数列an的公比为q(qR)由a7a1q61，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1q4q2，a6a1q5q1.因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，即q1(q21)2(q21)所以q 1/21.在等比数列an中，a1a240，a3a460，则a7a8_135 2.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q_.24.若数列an的前n项和可表示为Sn2na，则an是否可能成为等比数列？若可能，求出a的值；若不可能，说明理由5.已知数列an是公比为q的等比数
5、列，且a1、a3、a2成等差数列(1)求公比q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想，考题一般从三个方面进行考查：一是应用等比数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公比进而求得等比数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等比数列问题间接地求得等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等比数列 1等比数列常用的性质：(1)等比数列an中，对任意的m，n，p，qN*，若mnpq，则amanapaq.特别地，若mn2p
6、，则amanap2.(2)对于等比数列an中的任意两项an、am，都有关系式anamqnm，可求得公比q.但要注意nm为偶数时，q有互为相反数的两个值(3)若an和bn是项数相同的两个等比数列，则anbn也是等比数列答案：3选题感悟：运用等比数列的性质求解等比数列问题，是一个基础考点，是数列高考的重点内容之一2(2011苏州期中卷)等比数列an共2n1项，首项a11，所有奇数项的和等于85，所有偶数项的和等于42，则n_.答案：3选题感悟：本题主要考查等比数列的性质及前n项和公式，同时也考查了方程思想及整体思想的运用选题感悟：本题将等差、等比数列及不等式有机地交汇在一起，综合性强，对运算及逻辑推理能力要求较高
