1、12在 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.求证：(1)ACBC1；(2)AC1平面CDB1.用向量方法证明平行与垂直问题3证明在ABC中，AC=3,BC=4,AB=5，故由勾股定理知，ACB=90.所以CA、CB、CC1两两垂直.如图，以点C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.4则C(0,0,0)、A(3,0,0)、C1(0,0,4)、B(0,4,0)、B1(0,4,4)、D(,2,0).(1)因为AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),所以AC BC1=0，所以ACBC1
2、.5 (2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0,2,2).因为DE=(,0,2),AC1=(-3,0,4),所以DE=AC1，所以DEAC1.又因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.6利用空间向量的坐标运算可以解决线线垂直、线面平行与垂直问题，关键是合理建立坐标系，写出点的坐标和需要向量的坐标.本题主要考查线线垂直、线面平行的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量解决几何问题的能力.7如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AD，M、N分别为PC、AB的中点.用向量的运算方法证明:(1)MN平面PAD；(2)MN平面PCD.8证明建立如图所示坐
3、标系，设AB=a,PA=AD=b,则B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,b,0),P(0,0,b).取PD的中点H，连结AH,则N,M,H,所以NM=,AH=.9 (1)因为NM=AH，且MN平面PAD，AH平面PAD，所以MN平面PAD.(2)因为PD=(0,b,-b)，DC=(a,0,0),所以NM PD=,NM DC=0,所以NMPD，NMDC.又因为PDDC=D,所以MN平面PDC.10在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试问在棱BB1上是否存在点M，使得D1M平面EFB1？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由.用向量方法解探索
4、性问题11以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.因为正方体的棱长为1，所以D1(0,0,1),E(1,0),F(,1,0),B1(1,1,1).因为点M在棱BB1上，所以可设M(1,1,)(01).12所以D1M=(1,1,-1),EB1=(0,1),FB1=(,0,1).因为D1M平面EFB1的充要条件为“D1MFB1 且D1MEB1”，所以D1M EB1=(1,1,-1)(0,1)=+-1=0,13且D1M FB1=(1,1,-1)(,0,1)=+-1=0，解得=,且0,1.因此，存在点M，使得D1M平面EFB1，且M是BB1的中点.14从本例可以看出，在解决一些立体几何探索
5、性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”“作”“证”，只需通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量解题的优越性.15正方体ABCD-A1B1C1D1中，在对角线A1C上是否存在这样的一点E，使BEA1D？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由.16以点A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系.设B(a,0,0),D(0,a,0),A1(0,0,a),C(a,a,0).由题意，可设A1E=A1C=(a,a,-a)=(a,a,-a).17又A1(0,0,a),得E(a,a,a-a).从而BE=(a-a,a,a-a),A1D=(0
6、,a,-a).若BEA1D，则BE A1D=0，所以a2-a(a-a)=0，解得=.故存在点E，且点E是A1C的中点，使BEA1D.18用向量方法解探索与平行有关的问题19202122在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在利用共面向量定理建立方程是本题得以解决的关键这种“以求代证”的方法值得仔细品味2324252627 3在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,BAC=30，BC=1,A1A=,M是CC1的中点.求证：A1BAM.28如图，
7、建立空间直角坐标系，则A1(,0,),B(0,1,0),A(,0,0),M(0,0,),所以AM=(-3,0,),A1B=(-3,1,-6),所以AM A1B=0，所以A1BAM.294.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD,AN=AE,求证：MN平面CDE.30建立如图所示空间直角坐标系，设AB，AD，AF的长度分别为3a,3b,3c,则NM=NA+AB+BM =(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量AD=(0,3b,0),所以NM AD=0，得NMAD.因为MN平面CDE，所以NM平面CDE.311.用空间向量的方法处理位置关系问题，关键在于建立空间直角坐标系，或恰当地选取基向量，将其他向量用坐标或基向量表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系.2.掌握平面的法向量的多种求法，特别注意法向量在证明线面、面面关系中的地位和作用.3233343536373839
