1、第九章 直线、平面、简单几何体第讲（第二课时）11.在三棱锥P-ABC中，ABAC，ACB=60，PA=PB=PC，点P到平面ABC的距离为AC.求二面角P-AC-B的大小.题型4 求二面角的大小2解法1：由条件知ABC为直角三角形，且BAC=90.因为PA=PB=PC，所以点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜边BC的中点E.取AC的中点D，连结PD，DE，PE.因为PE平面ABC，DEAC(因为DE AB)，所以ACPD.所以PDE就是二面角P-AC-B的平面角.3又PE=AC，DE=AC(因为 A C B=60)，所以，所以PDE=60.故二面角P-AC-B的大小为60.解法2：由
2、条件知ABC为直角三角形，且BAC=90.因为PA=PB=PC，所以点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜边BC的中点.4设O为BC的中点，取AC的中点D，连结PD，DO，PO，则PO平面ABC.建立如图所示直角坐标系设AC=a，则A(a，-a，0)，B(-a，0，0)，C(a，0，0)，D(a，-a，0)，P(0，0，a).所以 =(-a，a，0)，=(-a，a，a).因为ABAC，又PA=PC，所以PD AC，5所以cos，即为二面角P-AC-B的余弦值.而cos，=所以二面角P-AC-B的大小为60.6点评：求二面角的大小有两种方法：几何法与向量法.本题解法1是利用几何法来解决的，
3、即按“一找、二证、三计算”三个步骤进行；解法2是利用向量法来解决的，即通过求垂直于两平面交线的直线的方向向量所成的角(需要注意是相等还是互补).7如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1.(1)证明：AB=AC;(2)设二面角A-BD-C为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小.解：(1)证法1：连结BE，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以 B1 B C=90,8因为E为B1C的中点，所以BE=EC.又DE平面BCC1，所以BD=DC(射影相等的两条斜线段相等).而DA平面ABC，所以AB=AC(斜线段相等的射影相等)证法2：取
4、BC的中点F，证四边形A FED为平行四边形，进而证AFDE，所以AFBC，得AB=AC.9(2)作AGBD于G，连结GC，则GCBD，所以AGC为二面角A-BD-C的平面角，所以AGC=60.不妨设AC=，则AG=2,GC=4.在RtABD中，由ADAB=易得AD=.10设点B1到平面BCD的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为.由SB1BCDE=SBCDh，得解得h=，又B1C=,所以sin=,所以=30.即B1C与平面BCD所成的角为30.112.在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D为AC的中点，E为BD的中点，连结AE并延长交BC于点F，将ABC沿BD折成一个大小为的二面角
5、A-BD-C.(1)证明：平面AEF平面BCD(2)当为何值时，有ABCD?题型4 二面角背景下的位置关系分析12解：(1)证明：因为ABC为直角三角形，ACB=30，所以AB=AC.又D为AC的中点，所以AD=AC，所以AB=AD.因为E为BD的中点，所以AEBD，所以BDAE，BDEF，所以BD平面AEF.又BD平面BCD，所以平面AEF平面BCD.13(2)作AOEF，垂足为O.因为平面AEF平面BCD，所以AO平面BCD.连结OB，则OB是AB在平面BCD内的射影所以ABCDBOCD.延长BO、CD相交于H，设AB=2a，则AE=ABcos30=a.由BEOBHD，得 .14所以在Rt
6、AOE中，cosAEO=.因为BD平面AEF，所以=AEF=-AEO=-arccos .15点评：与二面角有关的综合问题涉及到空间位置关系与空间角大小关系之间的综合.解决此类问题需注意几个转化：一是三维空间向二维空间的转化；二是空间角向线线角的转化；三是线面关系向线线关系的转化等.16在棱长为a的正方体OABC-OABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.(1)求证：AFCE；(2)当三棱锥B-BEF的体积取得最大值时，求二面角B-EF-B的大小(结果用反三角函数表示).17解：(1)证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系.设AE=BF=x，则A(a，0，a)，F(a-x，a
7、，0)，C(0，a，a)，E(a，x，0)，所以=(-x，a，-a)，=(a，x-a，-a).因为=-xa+a(x-a)+a2=0，所以AFCE.18(2)记BE=y，则x+y=a.故三棱锥B-BEF的体积为当且仅当x=y=时，等号成立.因此，三棱锥B-BEF的体积取得最大值时，BE=BF=.过B作BDEF交EF于D，连结BD，则BDEF.所以BDB是二面角B-EF-B的平面角.19在RtBEF中，因为BE=BF=，BD是斜边上的高，所以BD=.在RtBDB中，故二面角B-EF-B的大小为arctan201.二面角的大小是通过其平面角来度量的.而二面角的平面角需具有以下三个特点：顶点在棱上；两
8、边分别在两个面内；两边与棱都垂直.2.作二面角的平面角主要有如下三种作法:(1)特征法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性.21(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角.由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.223.求二面角的大小有几何法和向量法两种.用几何法求解时，先要作出二面角的平面角，再通过解三角形求平面角的大小.若二面角的棱在原图中没有画出来，一般应先作出二面角的棱.用向量法求二面角的大小，一般通过向量的坐标运算求解，即转化为求二面角的两个面的法向量的夹角.23
