1、第八章圆锥曲线方程第讲（第二课时）1题型3 代入法求轨迹方程1.设双曲线的右焦点为F，右准线为l，P为双曲线上任意一点.以点P为圆心作圆使之与直线l相切，交线段PF于Q点，求点Q的轨迹方程.2解：设圆P与准线l相切于M点,则因为|PM|=|PQ|,所以|PF|=2|PQ|,即Q为线段PF的中点.设点Q(x，y),P(x0，y0).又点F(2,0),所以解得又因为点P在双曲线上，所以3于是故点Q的轨迹方程是点评：此题中动点Q(x，y)是随着动点P(x0，y0)的运动而运动的，而点P在已知曲线上，因此只要将x0、y0用x、y表示后代入曲线方程中，即可得点Q的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为代入法(又
2、称相关点法).4求经过定点A(1，2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程.解：设椭圆下方的焦点为F(x0，y0)，由定义知所以|AF|=1，故点F的轨迹方程为(x0-1)2+(y0-2)2=1.又设椭圆下方顶点为P(x,y),则x0=x,y0=y,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+(y-2)2=1.52.如右图,P是抛物线C：上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)，依题意知x10，y10，y20.由由得y=x,题型4 参数法求轨迹方程6所以过点P的切线的斜
3、率k切=x1.所以直线l的斜率所以直线l的方程为方法1：联立消去y，得因为M为PQ的中点，所以7消去x1，得所以PQ的中点M的轨迹方程为方法2：由得则所以将上式代入式并整理，得所以PQ的中点M的轨迹方程为8点评：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题求解的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.本题先设P，Q两点的坐标为参数，然后利用抛物线方程、切线方程等得出横坐标的关系及中点M的坐标，再把所求点M的坐标(x0，y0)转化为所设参数x1的式子，然后通过消去所设参数，就得到x0,y0的方程，这就是参数法求轨迹方程.应用参数法的关键是找到各参
4、数之间的关系及如何代入或整体消参.9已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点.若动点M满足(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程.解：由条件知F1(-2，0)，F2(2，0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则由得即10于是线段AB的中点坐标为当线段AB不与x轴垂直时，即又因为A、B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，即(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y.11将代入上式，化简得(x-6)2-y2=4.当直线AB与x轴垂直
5、时，x1=x2=2，求得M(8，0)，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.12设椭圆方程为过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为当l绕点M旋转时,求的最小值与最大值.解法1：直线l过点M(0,1),设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1，y1)，B(x2，y2).题型轨迹思想的应用13由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的解,将代入并化简,得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得4x2+y2-y=0.14当k不存在时，线段AB的中点为坐标原点(0，0)
6、，也满足方程，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.所以又即所以所以当时，当x=时，|NP|min=.15解法2：设点P的坐标为(x，y).因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以由-得所以当x1x2时,有16并且将代入并整理得4x2+y2-y=0.当x1=x2时，点A、B的坐标分别为(0，2)和(0，-2)，此时点P(0，0)也满足.所以点P的轨迹方程是4x2+y2-y=0.以下同解法1.171.求轨迹方程是解析几何的基本内容，必须理解各种方法在什么情况下使用.常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法.在解题时考虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序.2.求轨迹方程与求轨迹是
7、有不同要求的，若是求轨迹则一般先求出方程，然后说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.183.某些最值问题常常化归为轨迹问题来解决，即先研究动点的轨迹或轨迹方程，再在此基础上求相关最值，这就是轨迹思想.4.利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：(1)参数的选择要合理，应与动点坐标x、y有直接关系，且易用参数表达.可供选择作为参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等.19(2)消参数的方法有讲究，基本方法有代入法，加减法，构造公式法等，解题时应注意积累.(3)对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对x、y的取值范围的制约.20
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