1、第六章 不等式第讲（第三课时）1题型6 用反证法证不等式1.已知a、b、c(0，1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于.证法1：假设三式同时大于，即有(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c.2又(1-a)a()2=，同理，(1-b)b ，(1-c)c ，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c ，因此与假设矛盾，故结论正确.证法2：假设三式同时大于.因为0a1，所以1-a0，3点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设推理导出矛盾(得出结论).所以同理，都
2、大于.三式相加得，矛盾.故假设不成立，从而原命题成立.4已知a,b,cR,求证：a2-2c,b2-2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于-1.证明：假设三式都同时小于-1，即a2-2c-1，b2-2a-1，c2-2b-1，三式相加，得a2-2c+b2-2a+c2-2b-3，所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+30，即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)20，这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)20，矛盾.故结论成立.5题型7 用换元证不等式2.已知a、bR，a2+b24，求证：|3a2-8ab-3b2|20.证明：因为a、bR，a2+b24，所以可设a=rcos,b=rsin
3、,其中0r 2，所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2-4sin2|=r2|5cos(2+arctan )|5r220.所以原不等式成立.6点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有：若x2+y2=a2，可设x=acos，y=asin；若可设x=acos，y=bsin；若x2+y21，可设x=rcos，y=rsin(0r1).7已知1x2+y22，求证：x2-xy+y23.证明:设x=rcos,y=rsin,且1r2,R,则由-1sin21，得1-sin2 .又1r22，所以r2(1-sin2)3，即x2
4、-xy+y23.83.求证：证明：令xR，则yx2+yx+y=x2-x+1.于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.(1)若y=1，则x=0，符合题意；(2)若y1,则式是关于x的一元二次方程.题型8 判别式法证不等式9由xR，知=(y+1)2-4(y-1)20，解得y3且y1.综合(1)(2)，得y3，即点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.10求证：证明：令则yx2-(y+1)x+y+1=0，(1)当y=0时，得x=1，符合题意；(2)当y0时，则式是关于x的一元二次方程.由xR，得=(y+1)2-
5、4y(y+1)0，解得-1y ,且y0.综合(1)(2),得-1y ,所以11已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x-1，证明:ln(x+1)x.证明：令f(x)=0，得x=0.当x(-1，0)时，f(x)0;当x(0，+)时，f(x)0.题型不等式与函数的综合应用12所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数，在区间(0，+)上是减函数.所以当x-1时，f(x)f(0)=0，即ln(x+1)-x0，故ln(x+1)x.令则令g(x)=0，得x=0.当x(-1，0)时，g(x)0;当x(0，+)时，g(x)0.13所以g(x)在(-1，0)上是减函数，在(0，+)上是增函数，故当x-1时，g(x)g(0)=0，即故综上知，141.在已知中如果出现两数相加等于一个正常数，可联想到公式sin2+cos2=1，进行三角换元.2.含有字母的不等式证明，可以化为一边为零，而另一边为某个字母的二次三项式，考虑判别式.3.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.15
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