1、简单的三角恒等变换(二) (20分钟35分)1.函数y=sin 2x+sin2x,xR的值域是()A.B.C.D.【解析】选C.y=sin 2x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,因为-1sin1,所以y=sin 2x+sin2x的值域为.2.等于()A.B.C. D.1【解析】选A.原式=.3.若tan=3,则=()A.3B.-3C.D.-【解析】选A.因为tan=3,所以tan =-.所以=3.4.(2020金昌高一检测)若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=时取得最小值,则cos 等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.f(x)=5cos x+12sin
2、x=13=13sin(x+),其中sin =,cos =,由题意知+=2k-(kZ),得=2k-(kZ),所以cos =cos=cos=-sin =-.5.函数f(x)=sinx-2sin2x的最小值是.【解析】f(x)=sinx-=2sin-1,又x,所以x+,所以f(x)min=2sin-1=-1.答案:-16.设函数f(x)=2cos2x+sin+a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求的值.(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.【解析】f(x)=1+cos 2x+sin 2x-cos 2x+a=sin+a+1.(1)由2x+=2k+(kZ
3、)得x=k+(kZ).又0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=,故=1.(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,由x,得2x,2x+,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为+a+1.由+a+1=,得a=-. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知cos,sin 是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点,则sin 2=()A.2-2B.2-2C.-1D.1-【解析】选A.因为cos ,sin 是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点,所以sin +cos =t,sin cos =t,由sin2+cos2=1,得(s
4、in +cos )2-2sin cos =1,即t2-2t=1,解得t=1-,或t=1+(舍).所以sin 2=2sin cos =2t=2-2.2.若sin+cos=,则sin=()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为sin+cos=sin+cos=2cos=,所以sin=cos=,则cos=1-2sin2=1-2=,因为cos=cos=-sin=,故sin=-.3.要使sin +cos =有意义,则应有()A.mB.m-1C.m-1或mD.-1m【解析】选D.sin +cos =2=2sin=,所以sin=,由于-1sin1,所以-11,所以-1m.4.(2020大连高一检测)在斜三角形
5、ABC中,sin A=-cos Bcos C,且tan Btan C=1-,则角A的值为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=-cos Bcos C,在等式-cos Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C两边同除以cos Bcos C,得tan B+tan C=-,又tan(B+C)=-1=-tan A,即tan A=1,因为0A,所以A=.5.(2020 江门高一检测)函数f(x)=sin-3cos x的一个单调递增区间是()A.B.C.D.【解析】选B.因为f(x)=sin-3cos x,=-
6、cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,令t=cos x,则t-1,1,则f(t)=-2t2-3t+1,开口向下,对称轴为t=-,当x,y=cos x不单调,不符合题意,当x时,y=cos x单调递减且cos x,即t,根据二次函数的性质可知,当t,函数f(t)单调递减,根据复合函数的单调性可知,f(x)在上单调递增.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=来截.【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,又
7、a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=,所以sin =.因为0x,x+,所以x+=或,x=或.答案:或7.(2020 泰安高一检测)设为第四象限角,且=,则tan 2=.【解析】=2cos 2+1=,所以cos 2=,又是第四象限角,所以sin 2=-,tan 2=-.答案:-8.已知A+B=,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是.【解析】因为A+B=,所以cos2A+cos2B=(1+cos 2A+1+cos 2B)=1+(cos 2A+cos 2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)=1-cos(A-B),所以当c
8、os(A-B)=-1时,原式取得最大值;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知cos=,求的值.【解析】=sin 2=sin 2tan.由,得+2,又cos=,所以sin=-,tan=-.cos =cos=-,sin =-,sin 2=.所以=-.10.已知函数f(x)=2cos2,g(x)=.(1)求证:f=g(x).(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x0,)的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2=1+cos x,g(x)=1+2sincos=1+sin x.因为f=1+cos=1+sin
9、 x,所以f=g(x).(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cos x-sin x=cos.因为x0,所以x+,当x+,即0x时,h(x)递减,当x+,即x时,h(x)递增.所以函数h(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,根据函数h(x)的单调性,可知当x=时,函数h(x)取到最小值.【补偿训练】已知函数f(x)=sin+2sin2(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)因为f(x)=sin+2sin2=sin+1-cos=2+1=2sin+1=2sin+1,所以T=.(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,则2x-=2k+
10、,即x=k+(kZ),所以所求x的集合为.1.设ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若mn=1+cos(A+B),则C=.【解析】因为mn=1+cos(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin(A+B)=1+cos(A+B).又A+B=-C,所以整理得sin=.因为0C,所以C+.所以C+=.所以C=.答案:2.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BHOA,垂足为H.设OAD=,则BAH=-,OA=2cos ,BH=sin=cos ,AH=cos=sin ,所以B(2cos +sin ,cos ),OB2=(2cos +sin )2+cos 2=7+6cos 2+2sin 2=7+4sin.由0,知2+,所以当=时,OB2取得最大值7+4.