1、第十章排列、组合、二项式定理和概率第讲（第二课时）1题型4 用“定义法”求组合问题的方法数1.(1)求方程x+y+z=7共有多少组正整数解？(2)10名战士站成一排，从中任选3个互不相邻的战士去执行一项任务，求共有多少种不同的选派方法?2解：(1)将7个1摆成一个横排，在除两端外侧的6个空当中放上两个“+”号，将7个1分成三组，左、中、右三组中1的个数，分别为x、y、z的值，所以共有=15组解.(2)问题可理解为：7个人站在一排，现有3人插队，但不相邻，共有多少种选位方法?每选三个位置算一种选法.因为7人前后共有8个空当，所以共有=56种不同的选法.3点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位置上
2、的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只有一种顺序.4(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果，求甲方获胜的比赛结果共有多少种可能?(2)20个相同的小球，全部装入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数，求共有多少种不同的放法?5解：(1)一方获胜至少要下5盘棋，至多要下9盘棋，问题可理解为：在9盘对局中，甲方有且只有5盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有=126种可能.(2)首先在2号盒内放一个球，在3号盒内放两个球，然后将余下的17个球摆成一横排，用两块隔板将其分割成三
3、组，每组至少有1个球，再将三组球分别放入三个盒子里即可.因为17个球除两端外侧共有16个空当，所以共有=120种不同放法.62.成南高速公路(成都南充)出口的一侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用蓝、红两种颜色，若只要求相邻的两块广告牌的底色不能都为红色，则不同的配色方案共有()A45种B46种C55种D56种题型5 结合两个计数原理求组合问题的方法数7解：要求相邻的两块广告牌的底色不能都为红色，所以若有红色则只能插空于是按红色广告牌的块数分为五类：无红色，有1种；1块红色，有 种；2块红色，有 种；3块红色，有种；4块红色，有种所以不同的配色方案共有 种，故选C.点评：实际问题中的计数问题一般
4、都可以由两个计数原理来求出在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算8学校资料室有相同的物理书3本，历史书2本，数学书4本，分别借给四个理科学生和三个文科学生，每人限借与本学科相关的书一本，求共有多少种不同的借法?解：依据题意，至少有一个文科学生和一个理科学生借数学，分为三大类：仅有一个文科学生借数学，则对另外三本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，还可能有3个理科学生借，所以共有种方法；9有2个文科学生借数学，则对另外两本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，所以共有种方法；3个文科学生都借数学，另一本数学借给1个理科学生，有种方法.由
5、分类计数原理，共有=76(种).103.正四面体的顶点及各棱的中点共10个点，从中任取4个点使其不共面，求共有多少种不同的取法?解:从10个点中任取4个点，共有种取法.其中每个面上的6个点中任何四点共面，对应的取法有4；一条棱上的三点和其对棱的中点是共面的四点，对应的取法有种；除对棱外，其余四条棱的中点共面，正四棱锥共有3组对棱，对应的取法有3种.题型6 用间接法求组合问题的方法数11点评：对有限制条件的计数问题，一是可以根据是限制“元素”还是“位置”来分类，再根据分类与分步来计算；二是转化为一些基本的组合问题模型，利用间接法求解，如本题用的是“正难则反”的思路.所以四点不共面的取法共有=14
6、1(种).12从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法?(1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选；(2)至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选.解：(1)解法1：先从4名男生中选2人，有 种选法，再从除甲外的4名女生中选2人，有种选法.13由分步计数原理，共有 =36(种).解法2：从4名男生中选2名，从5名女生中选3名，共种选法，其中女生甲不入选的方法数为种.所以共有 =36(种).(2)从9人中任选5人的选法有种.其中5名女生都入选的选法有种，男生甲和女生乙同时入选的选法有种.所以符合条件的选法共有 =90(种).141.区分一个问题属于排
7、列问题还是组合问题，关键在于：当取出某m个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来的取法，这就属于组合问题.2.解决组合应用题的常用方法是：首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类计数原理；然后局部分步，用到分步计数原理.153.与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的题型有：选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题.解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.164.对含有附加条件的组合问题，通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等的词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解.175.一般地，从n个不同元素中每次取出m个且某k个元素必须在内的组合数是，某k个元素不能在内的组合数是 .6.图形个数的计算问题一般是组合问题.处理这类问题关键是图形的构成，根据图形的特点设计计算程序，注意共点、共线、共面等特殊情形，防止多算和漏算.18
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