1、第三节 平面向量的数量积第三节平面向量的数量积考点探究挑战高考考向瞭望把脉高考双基研习面对高考双基研习面对高考基础梳理基础梳理1向量的数量积的概念(1)向量a与b的夹角：已知两个非零向量，过点O，作a，b，则_叫 做 向 量 a与 b的夹角AOB(0180)当90时，a与b垂直，记作ab；当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则把|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积)，记作_(3)规定0a0.ab|a|b|cos.思考感悟2向量的数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)ea_.(2
2、)ab_.(3)当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_特别地aa_ae|a|cosab0|a|b|a|b|.|a|2.(4)cos_.(5)|ab|_.3向量的数量积的运算律(1)ab_.(2)(a)b_(3)(ab)c_4平面向量的数量积的坐标表示(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)则 ab_ba(ab)a(b)(R)acbc.x1x2y1y2.|a|b|x1x2y1y20.2非零向量a，b的夹角为，则ab0是为锐角的什么条件？提示：ab0为锐角或a、b的夹角为0，而当为锐角时，ab|a|b|cos一定为正值，所以ab0是为锐角的必要不充分条件思考感悟课前热身课前热身答案：1
3、答案：钝角三角形答案：34如果a(2x2，3)与b(x1，x4)互相垂直，则实数x等于_考点探究挑战高考考点突破考点突破模长问题考点一向量的模多为求两点间的距离，考查向量的加、减法，坐标运算和数量积例例11(2010年高考浙江卷)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_【思路分析】求向量的模，先平方转化为向量的数量积，再开方求模(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的(3)有时可借助图形，如平行四边形、三角形，再结合解三角形的相关知识解决利用向量数量积解决夹角问题考点二考点二向量的夹角涉及到三角函数问题，因而是考查的热点之一，重
4、点在角的范围，数量积公式的应用上，也同时可考查数形结合思想的应用例例22当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，2te17e2与e1te2反向设2t e17e2(e1te2)，0，互动探究1本例题中“向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角”改为“向量2te17e2与e1te2的夹角为锐角”，结果如何？向量与三角函数的综合应用考点三考点三向量与三角函数相结合，多以向量形式来表示或描述条件，即条件的表现形式呈现多样化、异样化，不再是三角函数中的简单直观陈述，结合坐标形式等向量运算进行考查例例33【思路分析】利用向量的数量积公式结合三角恒等变换，化简求值【名师点评
5、】应用三角函数知识解决向量问题是一类典型的问题，要解决这类综合性的题目，就要求我们在平时的学习中对各方面的知识熟练掌握，多积累方法、经验方法感悟方法感悟方法技巧1平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择2利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2.3求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角
6、4应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的哪些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题失误防范考向瞭望把脉高考考情分析考情分析向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，是高考命题者的必选素材，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到预测在2012年的江苏高考中，数量积的考查依然会是命题点之一，可能会与其他知识结合，增加题目的灵活性，以考查概念性的题型为主真题透析真题透析例例(2008年高考江苏卷)已知a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.【答案】7【名师点评】本题考查了数量积的概念及模的大小的计算方法，向量的有关概念在高考中经常考查因此基本的解题方法必须要掌握住，求向量的模时先平方再开方是常用的方法名师预测名师预测1设a，b是夹角为60的单位向量，若c是单位向量，则(ac)(bc)的取值范围是_本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
