1、第八节 离散型随机变量的均值与方差第八节离散型随机变量的均值与方差考点探究挑战高考考向瞭望把脉高考双基研习面对高考双基研习面对高考基础梳理基础梳理1均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_Xx1x2xnPp1p2pnx1p1x2p2xipixnpn平均水平(2)若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb)_.(3)若X服从两点分布，则E(X)_；若XB(n，p)，则E(X)_.2方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xnPp1p2pnaE(X)bpnp则_描述了xi(i1,2，n)相对于
2、均值E(X)的偏离程度，故V(X)(xiE(X)2pi(其中pi0，i1,2，n，p1p2pn1)，刻 画 了 随 机 变 量 X与 其 均 值 E(X)的_，称V(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为_随机变量X的标准差(2)V(aXb)_(3)若X服从两点分布，则V(X)_(4)若XB(n，p)，则V(X)_(xiE(X)2平均偏离程度a2V(X)p(1p)np(1p)思考感悟随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差1已知X的分布列为，
3、设Y2X3，则E(Y)的值为_课前热身课前热身2随机变量X的分布列如下：X101Pabc3(2011年南京调研)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望故Enp30.30.9.法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A
4、，B，C，则P(A)P(B)P(C)0.3，所以P(0)(10.3)30.343，P(1)3(10.3)20.30.441，P(2)30.320.70.189，P(3)0.330.027.于是，E()10.44120.18930.0270.9.考点探究挑战高考考点一离散型随机变量的均值考点突破考点突破对随机变量的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E()是一个实数，由的分布列惟一确定，也就是说随机变量可以取不同的值，而E()是不变的，它描述的是取值的平均状态；(3)E()的公式直接给出了E()的求法(4)公式E(ab)aE()b说明随机变量的线性函数
5、ab的期望等于随机变量的期望的线性函数例例11(2010年高考江西卷)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间(1)求的分布列；(2)求的数学期望【思路分析】(1)中为相互独立事件，(2)中直接利用公式计算【名师点评】求期望，其关键是列出准确的分布列，或者能判断出事件概率的类型，如本题是二项分布问题，就可以直接用公式求之变式训练1有甲、乙、丙、丁四名
6、乒乓球运动员，通过对过去成绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6,0.8,0.9.(1)若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；(2)四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为，求随机变量的分布列及数学期望E()P(0)0.40.20.10.008；P(1)0.60.20.10.40.80.10.40.20.90.116；P(2)0.60.80.10.60.20.90.40.80.90.444；P(3)0.60.80.90.432.随机变量的分布列为：E()00.00810.11620.44430.4322.3.0123P0.0080.1160.4440.4
7、32考点二离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差V()表示随机变量对E()的平均偏离程度，V()越大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散，反之，V()越小，的取值越集中在E()附近，统计中常用标准差来描述的分散程度同时利用公式V(ab)a2V()可解决呈线性关系的两变量方差的计算问题例例22某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费设出租车一次行驶的路程数X(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量已知一个司机在某一天每次出车都超过了
8、3 km，且一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a23a、4a.(1)求这一天中一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差【思路分析】(1)利用分布列的性质求a，求X的分布列，求E(X)，V(X)；(2)利用期望方差的性质求解即a0.03.100a23a0.18,4a0.12，X的分布列为：X202224262830P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12E(X)200.12220.18240.20260.20280.1830
9、0.1225(km)V(X)520.12320.18120.20120.20320.18520.129.64.(2)由已知Y3X3(X3，XN)，E(Y)E(3X3)3E(X)3325372(元)，V(Y)V(3X3)32V(X)86.76.【名师点评】本题注意应用公式E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)变式训练2袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的数学期望与方差所以随机变量的分布列为：方法感悟方法感悟方法技巧1掌握下述有关期
10、望与方差的常用性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；V(ab)a2V()；(2)若B(n，p)，则E()np，V()np(1p)2基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的期望、方差，求的线性函数ab的期望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解失误防范1在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求
11、出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差考向瞭望把脉高考考情分析考情分析从近几年的江苏高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，常与排列组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力预测2012年江苏高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点，同时应特别注意均值与方差的实际应用规范解答规范解答例例名师预测名师预测1已知离散型随机变量X的分布列如下表若E(X)0，V(X)1，求a，b，c的值.2道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量
12、Q(简称血酒含量，单位是毫克/100毫升)，当20Q80时，为酒后驾车；当Q80时，为醉酒驾车某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：(1)分别求出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；(2)从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义；(3)饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率(精确到0.01)则分布列如下本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
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