1、泰兴市第三高级中学虹桥校区2020-2021高一数学期中试卷总分150分 时间120分钟 20210426一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.复数的虚部是()A. B. C. D. 2.化简 =()A. B. C. D. 3.在中,为角的对边,且,则的取值范围是()A. B. C. D. 4.的三边长分别为,则的值为()A. B.C. D. 5.在中,角的对边分别为,向量, ,若,且,则角的大小为()A. B. C. D. 6.已知正三角形的边长为,设,那么的值是()A. B. C. D.
2、 7.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若,为的中点,则 ()A. B. C. D. 8.下列关于函数的说法错误的是()A.最小正周期为 B.最大值为,最小值为 C.函数图象关于直线对称 D.函数图象关于点对称二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知是锐角,那么下列各值中不能取得的值是()A. B. C. D. 10.设向量,
3、则下列叙述错误的是()A.若,则与的夹角为钝角 B.的最小值为 C.与共线的单位向量只有一个为 D.若,则或 11.下面关于复数的四个说法中,结论正确的是()A.若复数,则 B.若复数满足,则C.若复数满足,则 D.若复数满足,则 12.在三角形中,下列说法正确的有()A.若,则三角形有两解B.若,则一定是钝角三角形C.若,则一定是等边三角形D.若,则一定是等腰三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在中,若,三角形的面积,则三角形外接圆的半径为_.14.在中,设边所
4、对的角为,若,则的最大值为_.15.若点是所在平面内的一点,且满足,则与的面积之比为_.16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设的三个内角的对边分别为,面积为 ,则“三斜求积”公式为_.若,则用“三斜求积”公式求得的面积_.四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数,当取何值时复数是:(1)实数;(2)纯虚数;(3).18.已知的内角的对边分别为,向量.(1)当时,求的值;(2)当且时,求的值.19.在中, .(1)求的大小;(2)求的最大值.20.在中,角的对边分别为,已知.(1
5、)求的值;(2)在边上取一点,使得,求的值.21.在某次地震时,震中(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市.已知两城市相距,两城市相距,市在两市之间,如图所示,某时刻市感到地表震动, 后市感到地表震动,后市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒.求震中到三市的距离. 22.在; ; 的面积为,且,这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角中,角所对的边分别为,_,函数的最小正周期为,为在上的最大值,求的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.泰兴市第三高级中学虹桥校区2020-2021高一数学期中试卷答案总分150分 时间120分钟 202
6、10426一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.复数的虚部是()A.-B.-C.D.【解析】选D.因为=+i,所以复数的虚部为.2.化简-2=()A.2sin 4B.-2sin 4C.2cos 4D.-2cos 4【解析】选A.原式=-2=2|cos 4|-2|sin 4+cos 4|,因为4,所以cos 40,sin 4+cos 40.所以原式=-2cos 4+2(sin 4+cos 4)=2sin 4.3.在ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.
7、B.C.D.【解析】选A.cos B=+,因为0B,所以B.4.ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为()A.19B.14C.-18D.-19【解析】选D.由余弦定理的推论知cos B=,所以= |cos(-B)=75=-19.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若mn,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小为()A.,B.,C.,D.,【解析】选C.因为mn,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理得:sin Acos B+sin Bcos A=sin 2
8、C,所以sin(A+B)=sin 2C,所以sin C=sin 2C.因为0C,sin C0,所以sin C=1,所以C=,所以B=.6.已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么ab+bc+ca的值是()A.B.-C. D.-【解析】选B.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+ 2(ab+bc+ca)=0,所以3+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-.7.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等
9、的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.利用勾股定理可得x,通过RtABE的边角关系,可得E的坐标,设=m+n,通过坐标运算性质即可得出.【解析】选A.如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.所以x2+4x2=1,解得x=.设BAE=,则sin =,cos =.所以xE=cos =,yE=sin =.设=m+n,则=m(1,0)+n(0,1).所以m=,n=.所以=a+b.8.下列关于函数f(x)=1-2sin2的说法错
10、误的是()A.最小正周期为B.最大值为1,最小值为-1C.函数图象关于直线x=0对称D.函数图象关于点对称【解析】选C.函数f(x)=1-2sin2=cos =sin2x,函数的最小正周期T=, A正确.最大值为1,最小值为-1,B正确.由2x=k+x=+,kZ,得函数图象关于直线x=+,kZ对称,C不正确.由2x=kx=,kZ,得函数图象关于点,kZ对称,D正确.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知是锐角,那么下列各值中sin +cos 不能取得的值是()A.B.C.D.【解析】选
11、BCD.因为0,所以+,所以sin1,又sin +cos =sin,所以1sin +cos .10.设向量a=,b=,则下列叙述错误的是()A.若k2,则a与b的夹角为钝角B.的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若=2,则k=2或-2【解析】选ACD.对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则ab0且a与b不共线,则k-20且-k2,解得k2且k-2,故选项A不正确,符合题意;对于选项B,=2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;对于选项C,=,与b共线的单位向量为,即与b共线的单位向量为或,故选项C错误,符合题意;对于选项D,=2=2,即=2,解得k=2,故选项D错误
12、,符合题意.11.下面关于复数的四个说法中,结论正确的是()A.若复数zR,则RB.若复数z满足z2R,则zRC.若复数z满足R,则zRD.若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=【解析】选AC.A选项,设复数z=a+bi(a,bR),则=a-bi(a,bR),因为zR,所以b=0,因此=aR,即A正确;B选项,设复数z=a+bi(a,bR)则z2= =a2-b2+2abi,因为z2R,所以ab=0,若a=0,b0,则zR,故B错;C选项,设复数z=a+bi(a,bR),则=-i,因为R,所以=0,即b=0,所以z=aR,故C正确;D选项,设复数z1=a+bi (a,bR),z2=c+di(c
13、,dR),则z1z2=+i,因为z1z2R,所以ad+bc=0,若能满足ad+bc=0,但z1,故D错误.12.在三角形ABC中,下列说法正确的有()A.若A=30,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0tan Atan B1,则ABC一定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形D.若a-b=ccos B-ccos A,则ABC一定是等腰三角形【解析】选BC.因为A=30,b=4,a=5,所以由正弦定理得sin B=,因为ba,所以B只有一个解,故A错误.由0tan Atan B1,得00,即cos(A+B)0,所以A+B,故ABC
14、一定是钝角三角形,故B正确.因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60,故C正确.因为a-b=ccos B-ccos A,所以sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,所以sin A-sin Ccos B=sin B-sin Ccos A,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C=sin Acos C,所以cos C=0或sin A=si
15、n B,所以C=或A=B,所以ABC的形状是等腰或直角三角形.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC中,若b=2,A=120,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为_.【解析】在ABC中,因为b=2,A=120,三角形的面积S=bcsin A=c,所以c=2=b,故B=C=(180-A)=30,再由正弦定理可得=2R=4,所以三角形外接圆的半径R=2.答案:214.在ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,若cos A=, a=,则bc的最大值为_.【解析
16、】根据题意,在ABC中,若cos A=,a=,则a2=b2+c2-2bccos A,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)24bc,则有4bc-3bc=bc6,即bc的最大值为6.答案:615.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足3-=0,则ABM与ABC的面积之比为_.【解析】如图,D为BC边的中点,则=(+).因为3-=0,所以3=2,所以=,所以SABM=SABD=SABC.答案:1316.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为_.若a2sin C=2
17、sin A,(a+c)2=4+2+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.【解析】由余弦定理得cos B=,所以sin B=,所以SABC=acsin B=ac=.因为a2sin C=2sin A,所以a2c=2a,即ac=2,又因为(a+c)2=4+2+b2,所以c2+a2-b2=2,S=.答案:S=四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数z:m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何值时复数z是:(1)实数;(2)纯虚数;(3)z=2+5i.【解析】(1)因为z为实数,所以m2+2m-3=0,解得m=-
18、3或m=1,所以当m=-3或m=1时,z为实数;(2)由z为纯虚数,可得即解得m=0,所以当m=0时,z为纯虚数; (3)因为z=2+5i,所以m(m-1)+(m2+2m-3)i=2+5i,所以解得 m=2,所以当m=2时z=2+5i.18.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,a),n=(1,sin B).(1)当mn=2sin A时,求b的值;(2)当mn且cos C=a时,求tan Atan B的值.【解析】(1)由题意得mn=sin A+asin B=2sin A,即=.由正弦定理得=,由以上两式可知b=1.(2)由平行条件得a=sin Asin B,
19、cos C=-cos=sin Asin B-cos Acos B=a,则可得到cos Acos B=a,所以tan Atan B=2.19.在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.【解析】(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B.代入已知得,cos B=.因为B(0,),所以B=.(2) cos A+cos C =cos A+cos(-B-A)=cos A+cos=cos A+sin A=sin,因为B=,所以A,A+.当A+=,即A=时,sin取得最大值1.即cos A+cos C的最大值为1.20.在ABC中,角A,B,C
20、的对边分别为a,b,c,已知a=3, c=,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-,求tanDAC的值.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45=,因此b2=5,即b=,由正弦定理=,得=,因此sin C=.(2)因为cosADC=-,所以sinADC=,因为ADC,所以C,所以cos C=,所以sinDAC=sin(-DAC)=sin(ADC+C)=sinADCcos C+cosADCsin C=,因为DAC,所以cosDAC=,故tanDAC=.21.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B
21、,C两城市相距20 km,C,D两城市相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B,C,D三市的距离.【解析】在ABC中,由题意得AB-AC=1.58=12 (km).在ACD中,由题意得AD-AC=1.520=30 (km).设AC=x km,AB=(12+x) km,AD=(30+x) km.在ABC中,cosACB=,在ACD中,cosACD=.因为B,C,D在一条直线上,所以=-,即=,解得x=.所以AB= km,AD= km.即震中A到B,C,D三
22、市的距离分别为 km, km, km.22.在acos B+bcos A=2ccos C; 2asin Acos B+bsin 2A=a;ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,_,函数f=2sin xcos x+2cos2x的最小正周期为,c为f在上的最大值,求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.【解析】函数f=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1,函数f的最小正周期为,则=1,f=2sin+1,当x
23、时,2x+,f=3,故c=3,若选,acos B+bcos A=2ccos C,由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,可得sin=sin C=2sin Ccos C,cos C=,又C为三角形内角,则C=,由正弦定理得=2,所以a=2sin A,b=2sin B,则a-b=2sin A-2sin B=2sin A-2sin=sin A-3cos A=2sin,因为A,A-,故2sin.若选,2asin Acos B+bsin 2A=a,由正弦定理得2sin2Acos B+2sin Bsin Acos A=sin A,2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin=2sin C=,sin C=,又C为三角形内角,则C=(C=舍去),由正弦定理得=2,所以a=2sin A,b=2sin B,则a-b=2sin A-2sin B=2sin A-2sin=sin A-3cos A=2sin,因为A,A-,故2sin.若选,ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),可得2absin C= ,sin C=cos C,tan C=,又C为三角形内角,则C=,由正弦定理得=2,所以a=2sin A,b=2sin B,则a-b=2sin A-2sin B=2sin A-2sin=sin A-3cos A=2sin,因为A,A-,故2sin.