1、第二十八讲等差数列1共 53 页回归课本2共 53 页1.等差数列的定义及等差中项(1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1-an=d(nN*).3共 53 页(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,其中4共 53 页2.等差数列的通项公式及前n项和公式等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d;前n项和公式为Sn=或5共 53 页3.等差数列的性
2、质(1)等差数列的通项是关于自然数n的一次函数(d0).(n,an)是直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数)是an成等差数列的充要条件.(2)等差数列an的首项是a1,公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则当d0时它表示二次函数,数列an的前n项和Sn=An2+Bn是an成等差数列的充要条件.6共 53 页(3)等差数列的增减性,d0时为递增数列,且当a10时前n项和Sn有最小值.d0时前n项和Sn有最大值.7共 53 页4.与等差数列有关的结论(1)若数列an和bn是等差数列,则man+kbn仍为等差数列,其中m,k为常数.(2)等差数列中依次k项和成等差数列,
3、即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列,且公差为k2d(d是原数列公差).(3)项数为偶数2n的等差数列an,有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项);S偶-S奇=nd;8共 53 页(4)项数为奇数2n-1的等差数列an,有S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);S奇-S偶=an;S奇S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.9共 53 页5.与等差数列有关的规律(1)等差数列an中,若an=m,am=n(mn),则am+n=0.(2)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(3)等差数列an中,若
4、Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.(4)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则10共 53 页6.等差数列的判定方法(1)定义法:an+1-an=d(常数)an是等差数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列.(3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.11共 53 页考点陪练12共 53 页1.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列an前8项的和为()A.128 B.80C.64D.56答案:C13共 53 页2.(2010山东烟台高三诊断
5、)在等差数列an中,若前5项和S5=20,则a3等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.a3=4.答案:A14共 53 页3.(2010辽宁大连高三一模)在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为()A.14B.15C.16D.17答案:C15共 53 页4.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则a1000等于()A.5B.-5C.1D.-1解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,由此可得
6、a1000=-1.16共 53 页解法二:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(nN*),两式相加可得an+3=-an,an+6=an,a1000=a1666+4=a4=-a1=-1.答案:D17共 53 页答案:C18共 53 页类型一等差数列的判断与证明解题准备:证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(nN*);(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(nN*).注意:在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.19共 53 页【典例1】
7、已知数列an的通项公式an=pn2+qn(p、qR,且p、q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列;(2)求证:对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数列.解(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0.故当p=0时,数列an是等差数列.20共 53 页(2)证明:an+1-an=2pn+p+q,an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.an+1-an是等差数列.21共 53 页类
8、型二等差数列的基本量运算解题准备:等差数列an中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法;由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解.22共 53 页【典例2】已知等差数列an中,a2=8,前10项和S10=185.(1)求数列an的通项公式an;(2)若从数列an中依次取出第2,4,8,2n,项,按原来的顺序排成一个新的数列,试求新数列的前n项和An.23共 53 页24共 53 页(2)An=a2+a4+a8+a2n=(32+2)+(
9、34+2)+(38+2)+(32n+2)=3(2+4+8+2n)+2n=3 +2n=32n+1+2n-6.反思感悟先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新数列中的各项,再求和.25共 53 页类型三等差数列的性质及应用解题准备:若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的是公差为k2d的等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用.26共 53 页【典例3】在等差数列中,Sn表示an的前n项和,(1)a3+a17=10,求S19的值;(2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3
10、=156,Sn=210,求项数n;(3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.27共 53 页28共 53 页(3)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=1,S8-S4=3.新的数列前5项分别为1,3,5,7,9.S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.29共 53 页类型四等差数列前n项和的最值问题解题准备:求等差数列前n项和Sn的最值问题,主要有以下方法:二次函数法:将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合,使问题得解;通项公式法:求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最
11、小)值;30共 53 页不等式法:借助Sn最大时,有解此不等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值).31共 53 页【典例4】已知数列an满足2an+1=an+an+2(nN*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求数列bn的前n项和的最小值.分析先判断an是等差数列,求an,再求bn,由bn的通项研究数列bn的前n项和的最值.32共 53 页解2an+1=an+an+2,an是等差数列,设an的首项为a1,公差为d,由a3=10,S6=72,得33共 53 页34共 53 页反思感悟除上面方法外,还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关
12、于n的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方法求解.35共 53 页错源一忽略数列项数【典例1】已知数列an的前n项和Sn=10n-n2(nN+),求数列|an|的前n项和Tn.错解当n=1时,a1=S1=9;当n2时,an=Sn-Sn-1=11-2n.由于n=1时,a1=9也满足an=11-2n,因此an=11-2n.由11-2n0,得36共 53 页即从第6项开始数列各项为负,那么Tn=|a1|+|a2|+|an|=-(a1+a2+an)+2(a1+a2+a5)=-Sn+2S5=n2-10n+2(105-52)=n2-10n+50.剖析错解中忽视了“项数”,默认了n5,事实上,n完全可以小
13、于或等于5.显然,当n5时,结论就是错的.37共 53 页正解对n进行分类:(1)由上述可知an=11-2n.当n5时,同上述错解,得Tn=n2-10n+50;(2)当n5时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=10n-n2.38共 53 页39共 53 页错源二忽略为零的项【典例2】在等差数列an中,已知a1=10,前n项和为Sn,且S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.40共 53 页41共 53 页剖析这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列的项吗?由于a1=10,d=,得10+(13-1)也就是说零是这个数列的第13项,于是答案就出错了.42
14、共 53 页正解由于a1=100,d=即数列an是一个首项为正的递减的等差数列,又由于a13=0,由上述解法可知,该数列的前12或13项的和最大,其值为65.43共 53 页错源三对数列的有关概念理解有误【典例3】已知数列an是递增数列,且对于任意的nN+,an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是_.44共 53 页错解因为an=n2+n是关于n的二次函数,且n1,所以 1,解得-2.剖析数列是以正整数N+(或它的有限子集1,2,)为定义域的函数,因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数列的点分布如图.45共 53 页正解解法一:由图分析得,所以-3.解法二:由an是递增数列,得anan+
15、1对nN+恒成立,即n2+n-(2n+1).而-(2n+1)-3,所以-3.答案(-3,+)46共 53 页技法一活用变式,出奇制胜【典例1】已知等差数列an中,ap=q,aq=p(qp),求ap+q.解题切入点由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得变式:an=am+(n-m)d或(nm),利用此变式可快速求解.47共 53 页解解法一:由变式得:q=p+(p-q)d,所以d=-1.所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.解法二:由变式得:所以所以ap+q=0.48共 53 页解法三:因为an=a1+(n-1)d,所以点(n,an)在一条直线上.49共 53 页不妨设pq时,同理可得ap+q=0.50共 53 页方法与技巧在解题时,巧妙地利用等差数列的变式,常常能出奇制胜,达到简捷明快的目的.51共 53 页技法二设而不求,化繁为简【典例2】在等差数列an中,Sm=Sn(mn),求Sm+n.52共 53 页方法与技巧在解有关等差数列习题时,设出其基本量a1,d,利用设而不求,整体代入能使题目避繁就简.53共 53 页
