1、3.4 生活中的优化问题举例A组学业达标1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1 D8解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案：C2设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A. B.C. D2解析：设底面边长为x，则表面积Sx2V(x0)S(x34V)令S0，得x.答案：C3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx3
2、81x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件解析：因为yx281，所以当x9时，y0.所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增所以x9是函数的极大值点又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：C4做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 mC4 m D2 m解析：设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4 (m)答案：C5某商场从生产厂家
3、以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定
4、为每件30元时，最大毛利润为23 000元答案：D6某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4nx2x2，令f(x)x0，解得x20.且当0x20时，f(x)20时f(x)0，故x20时，f(x)最小答案：207用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_m时，容器的容积最大解析：设高为x m，则Vx(x0.5)2x32.2x21.6x，x(0，1.6)，所以V6x2
5、4.4x1.6.令V0，解得x1或x(舍去)当0x0，当1x1.6时，V0，所以当x1时，容器的容积取得最大值答案：18.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(0x40)，S2x40.当0x0；当20x40时，S1，当x(0,1)时，y0，所以函数y16x在(0,1)上单调递增；当x(1，a)时，y1时，投入促销费用1万元时，厂家获得利润最大；当a1时，投入促销费用a万元时，厂家获得利润最大10将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成
6、正方形，一段弯成圆，问如何截才能使正方形与圆的面积之和最小？解析：设弯成圆的一段长为x cm，则另一段长为(100x)cm，记正方形与圆的面积之和为S(x)cm2，则S(x)22(0x100)，S(x)(100x)令S(x)0，得x.当x时，S(x)0.所以函数S(x)在x处取得极小值，这个极小值也是函数S(x)的最小值故当弯成圆的一段长为cm时，正方形与圆的面积之和最小B组能力提升11某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益r与年产量x的关系是r则总利润最大时，年产量是()A100 B150C200 D300解析：设年产量为x时，总利润为
7、y，依题意，得y即y所以y由y0，得x300.经验证，当x300时，总利润最大答案：D12横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则矩形横断面的高和宽分别为()A.d，d B.d，dC.d，d D.d，d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大y2d2x2，xy2x(d2x2)(0xd)令f(x)x(d2x2)(0xd)，则f(x)d23x2.令f(x)0，解得xd或xd(舍去)当0x0；当dxd时，f(x)0.当xd时，f(x)取得极大值，也是最大值当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度
8、最大答案：C13要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设高为h，则底面半径r，0h20，Vr2h(400h2) hhh3.由Vh20得h2，h或h(舍去)，因为当0h0，当h时，V0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.答案：15某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系：P0.1x23.2 ln x3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次
9、品将亏损1万元(利润盈利亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时，所获得的利润最大？最大利润为多少？解析：(1)由题意得，所获得的利润为y102(xP)P20x3x296ln x90(4x12)(2)由(1)知，y.当4x0，函数在4,6)上为增函数；当6x12时，y0，函数在(6,12上为减函数，所以当x6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y20636296ln 69096ln 678(万元)故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 678)万元16.某山区外围有两条相互垂直的直
10、线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y轴，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解析：(1)由题意知，M点的坐标为(5,40)，N点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C的方程y，可得解得(2)由(1)知曲线C的方程为y(5x20)，y，所以y|xt即为l的斜率又当xt时，y，所以P点的坐标为，所以l的方程为y(xt)令x0，得y；令y0，得xt.所以f(t)，其中5t20.由知f(t)，其中5t20.令g(t)22t2，所以g(t)t.因为5t20，令g(t)0，得5t0，得10t20.所以g(t)在区间5,10)单调递减，在(10，20单调递增所以g(10)675是g(t)的极小值，也是最小值所以当t10时，f(t)取得最小值，最小值为f(10)15.即最短长度为15.