1、函数的最大（小）值与导数 A组学业达标1函数f(x)x24x7在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)解析：f(x)2x4，当x3,5时，f(x)0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.答案：C3函数f(x)x32x2在区间1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值解析：f(x)x24xx(x4)令f(x)0，得x0或x4，f(0)0，f(4)，f(1)，f(5)，f(x)maxf(0)0，f(x)minf(4).答案：B4已知f(
2、x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对解析：f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当x0时，f(0)m最大，m3.f(2)37，f(2)5，最小值为37.答案：A5若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12xln 20，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)答案：D6函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则
3、其最小值为_解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.答案：717已知a为实数，f(x)(x24)(xa)，若f(1)0，则函数f(x)在2,2上的最大值为_，最小值为_解析：由原式，得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.由f(1)0，得a，此时f(x)x3x24x2，f(x)3x2x4.令f(x)0，得x1或x.因为f(1)，f，f(2)f(2)0，所以函数f(x)在2,2上的最大值为，最小值为.答案：8已知函数f(x)4x(
4、x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：由题意知f(x)4.又x0，a0，令f(x)0，得x，当0x时，f(x)时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增，即当x时，f(x)取得最小值，则3，解得a36.答案：369已知函数f(x).(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在1，t上的最大值解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数f(x).(1)f(1)1，所以切线方程为yx1.(2)令f(x)0，解得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，当1t0，ff(2)，f(x)在上的最大值为f
5、1ln 2，最小值为f(1)0.B组能力提升11函数f(x)在区间2,4上的最小值为()A0 B.C. D.解析：f(x)，当x2,4时，f(x)0，即函数f(x)在x2,4上是单调减函数，故x4时，函数f(x)有最小值.答案：C12当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，3解析：当x0时，30恒成立，aR.当00，h(x)单调递增，h(x)maxh(1)6，a6.当2x0)若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2，即a2x22x2ln x.令g(x)2x22x2ln x，x0，则g(x)2x(12l
6、n x)由g(x)0得x，且当0x0；当x时，g(x)0，当x时，g(x)取最大值e，ae.答案：e，)15已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解析：(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h
7、(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.16设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解析：(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，解得a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知，f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，则只需g(x)0在3，)上恒成立，分离变量可得a，即a3在3，)上恒成立，因为3在3，)上单调递减，且max，故a，故a的取值范围为.
