1、第二章 推理与证明章末检测(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数ABC D解析：显然是大前提，是小前提，是结论答案：D2用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数解析：假设应为“不是无理数”，即“是有理数”答案：D3下列推理过程属于演绎推理的为()A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体
2、试验B由112,1322,13532，得出135(2n1)n2C由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D通项公式形如ancqn(cq0)的数列an为等比数列，则数列2n为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理答案：D4由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”横线处可填的内容是()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心答案：C5观察下面图形的规律，在其右下角的
3、空格内画上合适的图形为()A BC D解析：由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确答案：A6.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B7C8 D9答案：C7用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a，bR)”，其反设正确的是()Aa，b至少有一个不为0 Ba，b至少有一个为0Ca，b全不为0 Da，b中只有一个为0解析：“a，b全为0”的反设应为“a，b不全为0”，即“a，b至少有一个不为0”答案：A8我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几
4、何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4个 B3个C2个 D1个解析：类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体答案：C9在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答案：x，y均不大于1(或者x1且y1)14已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可
5、以得到椭圆1类似的性质为_解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为1.答案：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为115如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n2(n2)个图形中共有_个顶点解析：设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.答案：n2n16若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f
6、，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数(小前提)，所以(sin Asin Bsin C)sin(结论)，即sin Asin Bsin C3sin.因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案：三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg ；(2)22.证明：(1)当a，b0时，有，lg lg，lglg ab.(2)要证22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所
7、以，原不等式成立18(12分)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，an有如下性质：(m，n，p，qN*)通项anam(nm)d；若mnpq，则amanapaq；若mn2p，则aman2ap；Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质解析：在等比数列bn中，公比为(0)，前n项和为Sn，bn有如下性质：(m，n，p，qN*)通项bnbmnm；若mnpq，则bmbnbpbq；若mn2p，则bmbnb；Sn，S2nSn，S3nS2n(Sn0)构成等比数列19(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1)求证：四边形的内角和等于360.
8、证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2)已知和都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3)已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实根证明：假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，0，即关于x的方程x22x5m20无实根解析：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论
9、据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法20(12分)已知实数x，且有ax2，b2x，cx2x1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c都小于1，即a1，b1，c1，则abc3.abc(2x)(x2x1)2x22x223，且x为实数，2233，即abc3，这与abc3矛盾假设不成立，原命题成立a，b，c中至少有一个不小于1.21(12分)设各项均为正数的数列an的前n项和为
10、Sn，满足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有0，a2.(2)当n2时，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an0，an1an2，当n2时，an是公差为2的等差数列又a2，a5，a14成等比数列aa2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)知，4a1a54，a11，又a2a1312，数列an是首项a11，公差d2的等差数列an2n1.(3)证明：1，因为ak2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数类似可得，ak2，a1都是3的倍数从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数