1、第三章单元质量评估(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是(C)Ay24x Bx24yCy24x或x24y Dy24x或x24y解析：抛物线过点(4,4)，设其方程为y22px或x22py(p0)，将(4,4)代入可得p2，抛物线方程为y24x或x24y.2已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为(A)A.1 B.1 C.1 D.1解析：|PF1|PF2|60，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则
2、双曲线的渐近线方程为(A)Ayx Byx Cyx Dy2x解析：由得所以a，因此双曲线的方程为y21，所以渐近线方程为yx.5在ABC中，|AB|2|BC|，以A，B为焦点，经过C的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则(A)A.1 B.2 C.1 D.2解析：如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为1(ab0)，1(a0，b0)，焦距为2c，则|AB|2c，|BC|c，C在椭圆上，|AC|BC|2a|AC|2ac，又C在双曲线上，|AC|BC|2a，即2acc2a11.6设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率可能等于(
3、D)A.或 B.或2 C.或2 D.或解析：因为|PF1|F1F2|PF2|432，所以设|PF1|4x，则|F1F2|3x，|PF2|2x，x0.因为|F1F2|3x2c，所以xc.若曲线为椭圆，则有2a|PF1|PF2|6x，即a3x，所以离心率e.若曲线为双曲线，则有2a|PF1|PF2|2x，即ax，所以离心率e.所以选D.7点A在曲线x2y21上移动，点B(3,0)，则线段AB的中点P的轨迹方程是(C)A(x3)2y24 B(x3)2y21 C(2x3)24y21 D.2y21解析：设A(x，y)，P(x0，y0)，则x2y21.又(2x03)24y1，故选C. 8.如图，直线ym与
4、抛物线y24x交于点A，与圆(x1)2y24的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是(B)A(2,4) B(4,6) C2,4 D4,6解析：设B(xB，yB)，则1xB3.因为可以构成三角形ABF，所以1xB3.因为圆的半径|BF|2，抛物线的准线方程为x1，利用抛物线定义，|AF|等于点A到直线x1的距离d，所以三角形ABF的周长l|AF|AB|BF|AF|AB|2d|AB|2xB(1)2xB3，故4l5.满足题意的直线不存在10设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1，B1和
5、A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(A)A. B. C. D.解析：由题意知，直线A1B1和A2B2关于x轴对称，又所成的角为60，所以直线方程为yx或yx.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，所以渐近线斜率满足，解得0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(A)A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(，0)(0，) D(，)(，)解析：如图所示，
6、由题意知BC为双曲线的通径，所以|BC|，则|BF|.又|AF|ca，因为BDAC，DCAB，所以点D在x轴上由RtBFARtDFB，得|BF|2|AF|FD|，即2(ca)|FD|，所以|FD|，则由题意知a，即ac，所以b4a2(ca)(ac)，即b4a2(c2a2)，即b4a2b2，所以01，解得00，直线与椭圆有两个交点，yx1是“A型直线”把y2代入1得不成立，直线与椭圆无交点，y2不是“A型直线”把yx3代入1，并整理得7x224x240，(24)247240，y2x3是“A型直线”16平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于
7、点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为.解析：设点A在点B的左侧，抛物线C2的焦点为F，则F.联立解得A；联立解得B.F为OAB的垂心，AFOB，kAFkOB1，即1，即4b25a2，即4(c2a2)5a2，即，e.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线1的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程解：设所求椭圆方程为1(ab0)，其离心率为e，焦距为2c，双曲线1的焦距为2c1，离心率为e1，则有c41216，c14，e12.e2，即.又bc14，a2b2c2，由可得a2
8、25.所求椭圆方程为1.18(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P，Q两点，|PQ|，求抛物线的方程解：设抛物线的方程为y22px，则消去y得4x2(2p4)x10，x1x2，x1x2.|PQ|x1x2|，则 ，p24p120，解得p2或p6.y24x或y212x.19(本小题12分)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程(2)若直线yk(x1)与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变化时总有OTSOTR？若存在，请说明理由解：(1)圆M的圆心为M(1,0)，
9、半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并与圆N内切，所以|PM|PN|Rr1r2Rr1r24|MN|2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)假设存在T(t,0)满足OTSOTR.设R(x1，y1)，S(x2，y2)，联立得(34k2)x28k2x4k2120，其中144(k21)0恒成立，由根与系数的关系得由OTSOTR(显然TS，TR的斜率存在)，得kTSkTR0，即0.由R，S两点在直线yk(x1)上，故y1k(x11)，y2k(x21)代入
10、得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，将代入得0，要使得与k的取值无关，当且仅当t4时成立故存在T(4,0)，使得当k变化时，总有OTSOTR.20(本小题12分)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)直线ykxm(km0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围解：(1)依题意解得a23，b21.所以双曲线C的方程为y21.(2)消去y得，(13k2)x26kmx3m230，由已知：13k20且12(m213k2)0m213k2设C(x1，y1)，D(
11、x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，则x0，y0kx0m，因为APCD，所以kAP，整理得3k24m1，联立得m24m0，所以m4，又3k24m10，所以m，因此m4.21(本小题12分)已知点A(x1，y1)，D(x2，y2)(其中x1x2)是曲线y24x(y0)上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|2.(1)当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；(2)记OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：.解：(1)因为B(1,0)，所以A(1，y1)，代入y24x，得到y12.又|BC|2，所以x2x12，所以x23.代入y24x，得到y22.所以kA
12、D1.(2)证明：直线OD的方程为yx，所以点A到直线OD的距离为d.又|OD|，所以S1|OD|d|x1y2x2y1|.又S2(y1y2)(x2x1)y1y2，所以，因为所以yy4(x2x1)8，所以，因为y1y22，当且仅当y1y2时取等号，又y1y2，所以0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：(1)由
13、题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形，所以由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01.由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB，因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程y24x得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)由知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)，直线AB的方程为yy0(xx0)由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.则ABE的面积S416.当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.
