1、首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1直线与平面垂直(1)定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l，直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面它们惟一的公共点P 叫做 垂足(2)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直如图 1 所示 图 1 图 2(3)判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直
2、线与此平面垂直符号语言：la，lb，a，b，abPl.图形语言：如图 2 所示首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于 0.因此，直线与平面所成的角的范围是0，90首页末页上一页下一页瞻前顾后
3、要点突破典例精析演练广场做一做：1直线 l 与平面 内的两条直线 a，b都垂直，则 l 与平面 的关系为(D)(A)平行 (B)垂直(C)l (D)无法判断解析：若直线 a，b 相交，则 l，若 a，b 平行，则 l 与平面 的关系不确定故选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2直线 l平面 ，直线 m，则(A)(A)lm (B)lm(C)l，m 异面 (D)l，m 相交而不垂直解析：由直线与平面垂直的定义知 lm，故选 A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3正方体 AC1中，直线 AA1与平面 AC 所成的角等于(D)(A)30 (B)45 (C)60
4、 (D)90解析：由正方体图形知，AA1底面 AC，所以 AA1 与平面 AC 所成的角为 90，故选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4如图，在ABC 中，B90，若 PA平面 ABC，则图中直角三角形的个数为_解析：可以证明 BC平面 PAB，则四个三角形都是直角三角形答案：4首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：直线和平面垂直的定义需注意的几点：(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”意思相同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种
5、特殊形式(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得出直线和平面内的任意一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若 a，b，则 ab.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种方法首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点二：直线和平面垂直的判定定理关于这个定理的理解需注意的几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不能改为“平面内的两条平行直线”虽然两条平行直线与两条相交直线都能确定一个平面，但当一条直线与平面内的一条直线异面且互相垂直时，平面内必定有一条直线与它(与平面相交
6、的直线)垂直，这时直线和平面是不一定互相垂直的(2)命题 1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题 2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的知识要点三：射影在三棱锥 ABCD 中的性质1若 AB
7、ACAD，则 A 在平面 BCD 内的射影是BCD 的外心2若 A 到 BC、CD、BD 边的距离相等，且 A 点射影在BCD 内部，则射影为BCD的内心3若 ABCD，ACBD，ADBC，则 A 在面 BCD 内的射影为BCD 的垂心首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场线面垂直的判定【例 1】在斜边为 AB 的 RtABC 中，过点 A 作 PA平面 ABC，AMPB 于 M，ANPC 于 N.求证：(1)BC平面 PAC；(2)PB平面 AMN.思路点拨：利用线面垂直的判定定理证明首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精
8、析演练广场证明：(1)PA平面 ABCPABCABC 是直角三角形，AB 为斜边BCAC又 ACPAABC平面 PAC.(2)由(1)知 BC平面 PAC，AN平面 PACBCAN又ANPC，BCPCCAN平面 PBCANPB又PBAM，AMANAPB平面 AMN.要证线面垂直，即证这条直线垂直于平面内的两条相交直线，而要证线线垂直，又可以考虑证一条直线垂直于另一条直线所在的平面若两条直线共面还可以用平面几何的知识或勾股定理的逆定理来证明首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 11：如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1，求证：A1C平面 BC1D.证明：连接 AC，
9、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，AA1BD，BDAC.AA1ACA，BD平面 AA1C，A1CBD.同理可证 A1CBC1.BC1BDB，A1C平面 BC1D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场线面垂直的综合应用【例 2】三棱锥 PABC 中，PABC，PBAC，PO平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面ABC 的垂心思路点拨：要证明 O 为底面ABC 的垂心，只要证明 OABC，OBAC.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场.证明：连接 OA、OB，PO平面 ABC，BC平面 ABC，POBC.又P
10、ABC，PAPOP，BC平面 PAO.OA平面 PAO，OABC.同理 OBAC.O 为底面ABC 的垂心注意“线线垂直”与“线面垂直”之间的相互转化首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场思路点拨：(1)过 A 作 AO平面 BCD，证 O 是BCD 的外心(2)(3)均找出斜线在平面中的射影，找出平面角后解三角形求角求直线与平面所成的角【例 3】如图所示，已知正四面体(各棱长都相等的三棱锥)ABCD 的棱长为 a，E为 AD的中点，连接 CE.(1)求证：顶点 A 在底面 BCD 内的射影是BCD 的外心；(2)求 AD 与底面 BCD 所成的角；(3)求 CE 与底面 BCD
11、 所成的角首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(1)证明：过点 A 作 AO平面 BCD，垂足为 O，连接 OB、OC、OD，则 OB、OC、OD 分别是 AB、AC、AD 在平面 BCD 内的射影，又ABACAD，AOAOAO，AOBAOCAOD90，AOBAOCAOD，OBOCOD.顶点 A 在底面 BCD 内的射影是BCD 的外心解：(2)OD 为 AD 在底面 BCD 内的射影，ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成的角O 为BCD 的外心，即BCD 的中心(BCD 为正三角形)DO 32 a23 33 a，cosADOODAD3a3a 33.AD 与底面 BCD
12、所成的角是一个锐角，它的余弦值为 33.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(3)取 DO 的中点 F，连接 EF、CF，E、F 分别为AOD 的边 AD、OD 的中点，EF 为AOD 的中位线，EFAO.AO平面 BCD，EF平面 BCD，FC 为 EC 在平面 BCD 内的射影，ECF 为 EC 与平面 BCD 所成的角，在 RtAOD 中，EF12AO，而 AO AD2OD2a2 33 a2 63 a.EF66 a.在 RtEFC 中，sinECFEFCE66 a32 a23.CE 与底面 BCD 所成的角是一个锐角，且它的正弦值为 23.(1)要证明正四面体的顶点在底面
13、的射影为底面三角形的外心，只需要根据外心的概念或性质找到满足外心的条件外心是外接圆的圆心，所以它到底面三角形三个顶点的距离相等故只需要证明 OBOCOD 即可(2)求线面所成的角，只需依据线面所成的角的意义找到斜线在平面内的射影，然后在直角三角形中求出角的值即可首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 31：如图，已知BOC 在平面 内，OA 是平面 的斜线，且AOBAOC60，OAOBOCa，BC 2a，求 OA 和平面 所成角的大小首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：OAOBOCa，AOBAOC60，AOB、AOC 为正三角形ABACa，BC 2a，
14、AB2AC2BC2.ABC 为直角三角形同理BOC 也为直角三角形过 A 作 AH 垂直平面 于 H，连接 OH.OAABAC，OHBHCH，H 为BOC 的外心H 在 BC 上，且 H 为 BC 的中点AOH 为直线 OA 与平面 所成的角在 RtAOH 中，AH 22 a，sin AOHAHOA 22，AOH45.即 OA 和平面 所成的角为 45.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场基础达标1直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则(D)(A)l 和平面 平行(B)l 和平面 垂直(C)l 在平面 内(D)l 与平面 的
15、位置关系不确定解析：如图所示，l 和平面 平行、l 和平面 垂直及 l 在平面 内都是有可能的，故答案为 D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2若直线 l 与平面 相交，且 l 不垂直于，则 内与 l 垂直的直线有(D)(A)0 条 (B)1 条 (C)2 条 (D)无数条解析：在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD1 与平面 ABCD 相交，且 AD1 不垂直于平面ABCD，在平面 ABCD 内与 AB 平行的直线都与 AD1 垂直，故选 D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3直线 a、b均在平面 外，若 a、b 在平面 上的射影是两条相交直线，
16、则 a 和 b的位置关系是(D)(A)相交 (B)平行(C)异面 (D)相交或异面解析：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B1、B1C1、BC1在平面 ABCD 外，且在平面 ABCD上的射影 AB 与 BC 相交，A1B1与 B1C1是相交直线，A1B1与 BC1 是异面直线故选 D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4若斜线段 AB 是它在平面 上的射影的长的 2 倍，则 AB 与平面 所成的角是(A)(A)60 (B)45 (C)30 (D)120解析：斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形如图所示，ABO 即是斜线 AB 与平面 所成的角，又 AB2BO，所以
17、cosABOOBAB12.所以ABO60.故答案为 A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场5如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边则能保证该直线与平面垂直的是_解析：由直线与平面垂直的判定定理知正确答案：首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场6三棱锥 VABC 中，VABC，VBAC，则点 V 在平面 ABC 内的射影 O 是ABC的_心解析：连接 VO，则 VO平面 ABC，BCVA，BCVO，VAVOV，BC平面 VAO，BCAO.同理 BOAC，O 点是ABC 两条高的交点，O 点是ABC 的垂心答案：垂首
18、页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场能力提升7在ABC 所在平面 外有一点 P，且 PAPBPC，则 P 在 内的射影是(C)(A)ABC 的垂心 (B)ABC 的重心(C)ABC 的外心 (D)ABC 的内心解析：过 P 作 PO平面 ABC，垂足为 O，则 O 是 P 在 内的射影，由 PAPBPC，POPOPO，且 POAPOBPOC90POAPOBPOCOAOBOC，即 O 为ABC 的外心故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场8如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点
19、的平面构成的“正交线面对”的个数是(D)(A)48 (B)18 (C)24 (D)36解析：正方体的每一条棱都和两个平面垂直，共有 24 个；每一个面的一条对角线都和一个对角面垂直，共有 12 个所以共有 36 个答案为 D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，当点 P满足_时，总有 APBD1.解析：如图，BD1平面 AB1C，若 AP平面 AB1C，则 BD1AP.答案：PB1C.(答案不唯一，如 BC1B1CP)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场10如图，AB 是
20、O 的直径，点 C 是O 上异于 A、B 的任意一点，直线 PA 垂直于O 所在平面，ADPC，垂足为 D.求证：AD平面 PBC.证明：AB 是O 的直径，BCAC.PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC.PAACA，BC平面 PAC.AD平面 PAC，BCAD.又 ADPC，BCPCC，AD平面 PBC.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场11四边形 ABCD 为正方形，SA平面 ABCD，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB、SC、SD 于点 E、F、G，求证：AESB.证明：SA平面 ABCD，SABC.又四边形 ABCD 为正方形，ABBC.又 ABSAA
21、，BC平面 SAB，又 AE平面 SAB，BCAE.又 SC平面 AEFG，SCAE.BCSCC，AE平面 SBC.又 SB平面 SBC，AESB.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场探究创新12如图，已知 P 是ABC 所在平面外一点，PA、PB、PC 两两垂直，PH平面 ABC于 H.求证：1PH2 1PA2 1PB2 1PC2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场证明：连接 CH并延长交 AB 于 D，连接 PD.PCPA，PCPB，PAPBP，根据直线和平面垂直的判定定理，PC平面 PAB.又AB平面 PAB，PCAB.又PH平面 ABC，PHAB.又 PCPHP.AB平面 PCH，PDAB.又PAPB，根据三角形面积公式有 PAPBPDAB.1PD ABPAPB，1PD2AB2PA2PB2.又 AB2PA2PB2，1PD2 1PA2 1PB2.同理 1PH2 1PC2 1PD2.1PH2 1PA2 1PB2 1PC2.