1、 练案54第五讲椭圆A组基础巩固一、单选题1(2019上海浦东新区模拟)方程kx24y24k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(D)Ak4Bk4Ck4D0k4解析椭圆的标准方程为1，焦点在x轴上，所以0kb0)，则a2b2c25，且1，解方程组得a215，b210，故所球椭圆方程为1.3(2020河南中原名校模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当F1PF2最大时，PF1F2的面积是(B)AB12C16(2)D16(2)解析椭圆的方程为1，a5，b4，c3，F1(3,0)，F2(3,0)根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，F1PF2最大，此时P
2、F1F2的面积S(23)412，故选B. 4(2020杭州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A1By21C.1D1解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，选A.5(2019惠州二模)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(D)ABCD解析如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，故选D. 6(2020青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：
3、1(ab0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率为(D)ABCD解析设P(x0，y0)，则，化简得1，则，e，故选D.7(2019河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：1(ab0)和直线l：1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)ABCD解析直线l的斜率为，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以，又b2c2a2(c)2c2a2c2a2，所以e，故选A.8(2019辽宁省大连市模拟)过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PFQ的周长的最小值为(D)A12B14C16D18解析设椭
4、圆另一个焦点为F，则|PF|FQ|，|PF|FQ|FQ|FQ|2a10，又|PQ|2|OQ|8(当Q为短轴端点时取等号)PFQ周长的最小值为8.故选D.9(2019广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(C)A2B3C6D8解析设点P(x0，y0)，则1，即y3.又因为点F(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22.又x02,2，所以()max6.10(2019南昌二模)已知椭圆C：x21，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(B)A9xy40B9xy50C2xy20Dxy50解析设A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x1，两式相减得(x1x2)(x1x2)0，又y1y21，x1x21，kAB9，直线AB的方程为y9(x)，即9xy50，故选B.二、多选题11(2020山东济宁期末)已知P是椭圆C：y21上的动点，Q是圆D：(x1)2y2上的动点，则(BC)AC的焦距为BC的离心率为C圆D在C的内部D|PQ|的最小值为解析依题意可得c，则C的焦距为2，e.设P(x，y)(x)，则PD2(x1)2y2(x1)21(x)2，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为，故选BC.12如图，椭圆与有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心设椭圆与的长半轴长分别为a1和a2，
6、半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(ABD)Aa1c12(a2c2)Ba1c1a2c2Ca1c2a2c1De1解析由椭圆的右顶点为椭圆的中心，可得2a2a1，由椭圆与有公共的左顶点和左焦点，可得a2c2c1；因为a1c12a2a2c2，且a2c2，则a1c12a2a2c22(a2c2)，所以A正确；因为a1c12a2(a2c2)a2c2，所以B正确；因为a1c22a2c2，a2c1a2(a2c2)aa2c2，则有a1c2a2c12a2c2aa2c2a2(c2a2)3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足F1PF2120，则|PF1|PF2|的值为_36_.解析由题
7、意知4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|4a2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4(a2c2)4b236.14(2020武汉质检)在RtABC中，ABAC1，若个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为.解析设另一个焦点为F，如图所示，|AB|AC|1，ABC为等腰直角三角形114a，则a.|AF|2a1，1()24c2，c，e.四、解答题15已知椭圆的两焦点为F1(，0)，F2(，0)，离心率e.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l：yxm，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ
8、|等于椭圆的短轴长，求m的值(3)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，则c，所以a2，b1，所求椭圆方程为y21.(2)由消去y，得5x28mx4(m21)0，则0，得m20得，k或k0，x1x2y1y20.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)44，0，即k24，2k2.由得，2k或kb0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为(A)A1BCD解析由题意得：PF
9、1PF2，且|PF2|c，又|PF1|PF2|2a，|PF1|2ac，由勾股定理得：(2ac)2c24c2e22e20，解得：e1，故选A.3(2019河北唐山一模)椭圆C：1(a0，b0)的左右焦点为F1，F2，过F2垂直x轴的直线交C于A，B两点，若AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为(D)ABCD解析由得y，由题意可知tan 30，即.解得e，故选D.4(2019年全国)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为(B)Ay21B1C.1D1解析如图，由已知可设|F2B|n，则|AF2|2n
10、，|BF1|AB|3n，由椭圆的定义有2a|BF1|BF2|4n，在AF1B中，由余弦定理推论得cosF1AB，在AF1F2中，由余弦定理得4n24n222n2n4，解得n.2a4n2，a，b2a2c2312，所求椭圆方程为1，故选B.5(2019珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y24，A(，0)，A1(，0)，点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切(1)求证：|PA1|PA|为定值，并求出点P的轨迹C1的方程；(2)若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求POQ面积的最大值解析(1)设点P(x，y)，记线段PA的中点为M，则两圆的圆心距d|OM|PA1|2|PA|，所以|PA1|PA|42，故点P的轨迹C1是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，C1的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为xmy，代入y21消去x，整理得(m24)y22my10，则y1y2，y1y2，POQ的面积S|OA|y1y2|2.令t(0t)，则S21(当且仅当t时取等号)所以POQ面积的最大值为1.