1、单元综合测试二(第二章)时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1由112,1322,13532,135742，得到13(2n1)n2用的是(A)A归纳推理 B演绎推理C类比推理 D特殊推理2用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为(C)A BC D3用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是(D)A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理
2、数 D假设是有理数4有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.结论显然是错误的，这是因为(A)A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：大前提是错误的，直线平行于平面，但不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况5由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面(C)A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体中正三角形的中心6用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律
3、，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(C)A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.7已知a(0，)，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为(D)A2nBn2 C22(n1) Dnn解析：将四个答案分别用n1,2,3检验即可，故选D.8已知abc0，则abbcca的值(D)A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：由(abc)2a2b2c22(abbcca)0，知abbcca(a2b2c2
4、)0.9在ABC中，sinAsinCcosAcosC，则ABC一定是(D)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：由sinAsinCcosAcosC，可得cos(AC)0，所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.10数列an满足a1，an11，则a2 013等于(C)A. B1 C2 D3解析：a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN，kN)，a2 013a33670a32.11定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且f(x)在(2，)上为增函数已知x1x24且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值(A)A恒小于0
5、 B恒大于0C可能等于0 D可正也可负解析：不妨设x120，则x12，2x24x1，f(x2)f(4x1)，从而f(x2)f(4x1)f(x1)，f(x1)f(x2)0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，对任意实数a，b不等式都成立19(12分)通过计算可得下列等式：2212211，3222221，4232231，(n1)2n22n1，将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n，即：123n.类比上述求法：请你求出122232n2的值解：2313312311，33
6、23322321，4333332331，(n1)3n33n23n1，将以上各式分别相加得：(n1)3133(122232n2)3(123n)n3(122232n2)3n，所以3(122232n2)(n1)3(n1)(n1)(n2)(n1)n(2n1)，所以122232n2.20(12分)观察下列两式：tan10tan20tan20tan60tan60tan101；tan5tan10tan10tan75tan75tan51.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论解：推广结论：若90，则tantantantantantan1.证明如下：由90，得tan()tan(90)则
7、tan(90)，所以tantantantan1tantan，即tantantantantantan1.21(12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan(x)；(2)设xR，a为非零常数，且f(xa)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论解：(1)证明：由两角和的正切公式得tan(x)，即tan(x)，命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数证明过程如下：因为f(x2a)f(xa)a，所以f(x4a)f(x2a)2af(x)所以f(x)是以4a为周期的周期函数22(12分)设f(n)1，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1)g(
8、n)f(n)1对于n2的一切正整数都成立？并证明你的结论解：当n2时，由f(1)g(2)f(2)1，得g(2)2.当n3时，由f(1)f(2)g(3)f(3)1，得g(3)3，猜想g(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当n2时，等式f(1)f(2)f(n1)nf(n)1恒成立当n2时，由上面计算可知，等式成立假设nk(kN且k2)时，等式成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1(k2)成立，那么当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)1，当nk1时，等式也成立由知，对一切n2的正整数n，等式都成立，故存在函数g(n)n，使等式成立