1、2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（5×12=60分，请将唯一正确的答案代号填涂到答题卡的相应位置）1复数（2+i）2等于（）A3+4iB5+4iC3+2iD5+2i2某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）A6B4C3D23某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误 的一个是（）A甲的极差是29B甲的中位数是25C乙的众数是21D甲的平均数比乙的大4如果执行如图所示的程序框图，输入x=12，那么其输出的
2、结果是（）A9B3CD5下列命题中：命题p：“xR，使得2x210”，则p是假命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题命题p：“x，x22x+30”，则p：“x，x22x+30”命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”其中正确命题是（）ABCD6设、是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面，l，m，则lm；命题q：l，ml，m，则，则下列命题为真命题的是（）Ap或qBp且qCp或qDp且q7若直线l1：ax+（1a）y3=0与直线l2：（a1）x+（2a+3）y2=0互相垂直，则a的值是（）A3B1C0或D1或38函数f（x）=x3+3x2+9x+a，x2，
3、2的最小值为2，则f（x）的最大值为（）A25B23C21D209已知直线l与双曲线x2y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（）A2B1C2D310已知函数y=xf（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）ABCD11已知aR，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2xy=2a1分别与圆E：（xa）2+（y1）2=4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为（）A2B4C6D812如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内
4、一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）A87B88C89D90二、填空题（5×4=20分，请将答案填写到答题卡的相应位置）13命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是14对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为15椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有个16已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是三、解答题：（请在答题卡的相应位置写出解答
5、过程）17为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CDDA1（）求证：BB1平面ABC；（）求证：BC1平面CA1D；（）求三棱锥B1A1DC的体积19已知抛物线C：y2=4x点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A，B两点（1）当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；（2）设
6、F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求FAB的面积20已知命题P：函数y=lg（x2+2x+a）的定义域为R；命题Q：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立若PQ是真命题，PQ是假命题；求实数a的取值范围21已知椭圆（ab0）的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求PQF1的内切圆半径r的最大值22已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=x+b（a，bR）（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1且a=4，求h（x）在0，1上的最大值；（2
7、）若a=4时，方程f（x）=g（x）在0，2上恰有两个相异实根，求实数b的取值范围；（3）若b=，aN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a（2.71e2.72）2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，请将唯一正确的答案代号填涂到答题卡的相应位置）1复数（2+i）2等于（）A3+4iB5+4iC3+2iD5+2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接根据复数的乘法的运算法则，以及i2=1可求出所求【解答】解：（2+i）2=4+4i+i2=3+4i故选A2某班有男生36人，女生18人
8、，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）A6B4C3D2【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义直接计算即可【解答】解：男生36人，女生18人，男生和女生人数比为36：18=2：1，抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为，故选：C3某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误 的一个是（）A甲的极差是29B甲的中位数是25C乙的众数是21D甲的平均数比乙的大【考点】茎叶图【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A正确；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位
9、数，判断出B错误，根据众数的定义判断C正确；根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出D正确；【解答】解：由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，A正确；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为（22+24）=23，B错误；乙的数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；甲命中个数集中在20以上，乙命中个数集中在10和20之间，所以甲的平均数大，D正确故选：B4如果执行如图所示的程序框图，输入x=12，那么其输出的结果是（）A9B3CD【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是当x0
10、计算y的值，并输出y值【解答】解：先看程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 x 循环前/12第一圈 是9第二圈 是6第三圈 是3第四圈 是0第五圈 是3退出循环，此时输出的x值为3y=，那么其输出的结果是故选C5下列命题中：命题p：“xR，使得2x210”，则p是假命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题命题p：“x，x22x+30”，则p：“x，x22x+30”命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”其中正确命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】命题通过直接找x值说明命题p：“xR，使得2x210”是真命题；命题先写出原命题的逆命题，然后判断真
11、假；命题是全称命题，其否定是特称命题，写出特称命题加以判断；命题直接写出原命题的逆否命题得答案【解答】解：x=0时，2x210，命题p：“xR，使得2x210”为真命题，则p是假命题正确，即命题正确；“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x+y=0”，是真命题，命题错误；命题p：“x，x22x+30”为全称命题，其否定为：p：“x，x22x+30”命题错误；命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”命题正确其中正确的命题是故选：C6设、是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面，l，m，则lm；命题q：l，ml，m，则，则下列命题为真命题的是（
12、）Ap或qBp且qCp或qDp且q【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中命题p：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；p正确；命题q：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l，ml，m，而，故命题q不正确；q正确；故选C7若直线l1：ax+（1a）y3=0与直线l2：（a1）x+（2a+3）y2=0互相垂直，则a的值是（）A3B1C0或D1或3【考点
13、】两条直线垂直的判定【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值【解答】解：l1l2a（1a）+（a1）（2a+3）=0，即（a1）（a+3）=0解得a=1或a=3故选D8函数f（x）=x3+3x2+9x+a，x2，2的最小值为2，则f（x）的最大值为（）A25B23C21D20【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出a的值，最小值即可求得【解答】解：求导函数可得f（x）=3x2+6x+9=3（x+1）（x3）令f（x）=3x2+6x+9=0，解得x=1或3x2，1）时，f（x
14、）0，函数单调减，x（1，2时，f（x）0，函数单调增，函数在x=1时，取得最小值，在x=2或x=2时，函数取得最大值，f（1）=5+a=2，a=3，f（2）=2+a=5，f（2）=22+a=25，函数的最大值为25，故选：A9已知直线l与双曲线x2y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（）A2B1C2D3【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设出A，B的坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式代入即可求得直线l的斜率【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在双曲线上，两式作差可得：，即（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），
15、线段AB的中点为C（2，1），x1+x2=4，y1+y2=2，即直线l的斜率为2故选：C10已知函数y=xf（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数y=xf（x）的图象，依次判断f（x）在区间（，1），（1，0），（0，1），（1，+）上的单调性即可【解答】解：由函数y=xf（x）的图象可知：当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增当1x0时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当0x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增故选C11已知aR，直
16、线l1：x+2y=a+2和直线l2：2xy=2a1分别与圆E：（xa）2+（y1）2=4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为（）A2B4C6D8【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2xy=2a1，交于圆心（a，1），且互相垂直，可得四边形ABCD是正方形，即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2xy=2a1，交于圆心（a，1），且互相垂直，四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的面积为4=8，故选：D12如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BC
17、C1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）A87B88C89D90【考点】棱柱的结构特征【分析】建立空间直角坐标系，过点H作HMBB，垂足为M，连接MP，得出HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，利用空间直角坐标系求出MP2的最小值即可【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示，过点H作HMBB，垂足为M，连接MP，则HMPM，HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，过P作PNCC，垂足为N，设P（x，8，z），则F（2，8，6），M（8，8，6），N（0，8，z
18、），且0x8，0z8，PN=PF，=x，化简得4x4=（z6）2，MP2=（x8）2+（z6）2=（x8）2+4x4=x212x+60=（x6）2+2424，当x=6时，MP2取得最小值，此时HP2=HM2+MP2=82+24=88为最小值故选：B二、填空题（5×4=20分，请将答案填写到答题卡的相应位置）13命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是若xy0，则x0且y0【考点】四种命题【分析】本题主要考察否命题的写法首先要找准命题的条件和结论，：“若A，则B”型的命题的否命题，条件和结论都要否定【解答】解：“若A，则B”型的命题的否命题为：“若A，则B”，条件和结论都要否定
19、本题中的条件为xy=0，结论为：x=0或y=0故答案为：若xy0，则x0且014对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为1.5【考点】线性回归方程【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：=54这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a54=10.55+a，a=1.5故答案为：1.515椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有6个【考点】椭圆的
20、简单性质【分析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点Bi（0，）对F1、F2张开的角最大，可得=90当PF1x轴或PF2x轴时，也满足题意即可得出【解答】解：由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点Bi（0，）对F1、F2张开的角最大，b=，a=2，c=，此时=90当PF1x轴或PF2x轴时，也满足题意因此F1PF2为直角三角形，则这样的点P有6个故答案为：616已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）【考点】函数的零点【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案【解答】解：由题意作出函数的图象，关于
21、x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）三、解答题：（请在答题卡的相应位置写出解答过程）17为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【分析】（1）由测得身高情况的统计图知抽到的男生人数为40人，由此能估计该校男生的人数（2）样本中身高在180190cm之间的男生有
22、6人，其中4人身高在身高在180185cm之间，2人身高在185190cm之间，从身高在180190cm之间的男生任选2人，至少有1人身高在185190cm之间的对立事件是2人的身高都在180185cm之间，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人身高在185190cm之间的概率【解答】解：（1）某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，由测得身高情况的统计图知抽到的男生人数为：2+5+14+13+4+2=40人，估计该校男生的人数为：4010%=400人（2）样本中身高在180190cm之间的男生有6人，其中4人身高在身高在180185cm之间，2人身高在185190c
23、m之间，从身高在180190cm之间的男生任选2人，基本事件总数n=，至少有1人身高在185190cm之间的对立事件是2人的身高都在180185cm之间，至少有1人身高在185190cm之间的概率为p=1=18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CDDA1（）求证：BB1平面ABC；（）求证：BC1平面CA1D；（）求三棱锥B1A1DC的体积【考点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）要证BB1平面ABC，必须证明BB1平面ABC内的两条相交直线，AB、CD即可（）要证BC1平面CA1D，必须证明BC1平面CA1D内
24、的一条直线，因而连接AC1与A1C的交点E与D，证明即可（）求三棱锥B1A1DC的体积，就是求CA1B1D的体积，求出底面面积和高即可【解答】解：（1）AC=BC，D为AB的中点CDAB又CDDA1，CD平面ABB1A1CDBB1又BB1AB，ABCD=DBB1面ABC（2）连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，E是AC1中点，D是AB中点，则DEBC1，又DE面CA1D1BC1面CA1D1BC1面CA1D（3）由（1）知CD平面AA1B1B故CD是三棱锥CA1B1D的高在RtACB中，AC=BC=2，AB=2，CD=又BB1=2VB1A1DC=VCA1B1D=SA1B1DCD=A1B
25、1B1BCD=19已知抛物线C：y2=4x点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A，B两点（1）当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求FAB的面积【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】设直线L的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立得k2x2+（2k24）x+k2=0（1）线段AB的中点在直线x=7上，k（2）当A为线段PB的中点时，PB=2PAy2=2y1，【解答】解：设直线L的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立得k2x2+（2k24）x+k2=0（1）线段
26、AB的中点在直线x=7上，k=，直线L的方程：y=（x+1）（2）当A为线段PB的中点时，PB=2PAy2=2y1，20已知命题P：函数y=lg（x2+2x+a）的定义域为R；命题Q：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立若PQ是真命题，PQ是假命题；求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】当P真：f（x）=lg（x2+2x+a）的定义域为R，有=44a0，解得a命题Q：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立当a=2时成立，当a2时，可得，解得a范围由于PQ是真命题，求出上述并集即可【解答】解：当P真：f（x）=lg（x2+2x+a）的定义域为R，
27、有=44a0，解得a1；当命题Q真：不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x恒成立当a=2时成立，当a2时，可得，解得2a2若PQ是真命题，则0a1或2a2因此实数a的取值范围是2a2PQ是真命题，且PQ为假命题，P真Q假，或P假Q真，即a2或2a121已知椭圆（ab0）的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求PQF1的内切圆半径r的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列
28、出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bxayab=0由题意得=，a2=b2+c2解得椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，=当即t2=1时，又22已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=x+b（a，bR）（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1且a=4，求h（x
29、）在0，1上的最大值；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在0，2上恰有两个相异实根，求实数b的取值范围；（3）若b=，aN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a（2.71e2.72）【考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）利用导数求得函数h（x）的单调性，再求最值；（2）方程f（x）=g（x）在0，2上恰有两个相异实根F（x）=ex2xb在0，2上恰有两个相异实根F（x）=ex2xb在0，2上与横轴有两个交点，利用导数求其单调性，利用图象即可，（3）使f（x）的图象恒在g（x）图象上方恒成立，求出p（x）的最小值即可【解答】解：（1）时，h（x）=ex（2x+1），当
30、x时，h（x）0，当x（，1）时，h（x）0，h（x）在0，上递增，在（）减，；（2）F（x）=f（x）g（x）=ex2xb，F（x）=ex2，F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+）上单调递增；F（x）=ex2xb在0，2上恰有两个相异实根，实数m的取值范围是m（22ln2，1； （3）由题设：，（*），故p（x）在上单调递减；在上单调递增，（*），设，则，q（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+）上单调递减，而q（2e2）=2e22e2lne2+15=152e20，且，故存在使q（x0）=0，且x2，x0）时h（x）0，x（x0，+）时h（x）0，又，aN*时使f（x）的图象恒在g（x）图象的上方的最大正整数a=142017年2月18日