1、2015-2016学年云南省红河州蒙自一中高二（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的）1已知集合A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则A（NB）=（）A1，5，7B3，5，7C1，3，9D0，6，92已知函数f（x）=log3（8x+1），那么f （1）等于（）A2Blog310C1D03已知向量，则x=（）A2或3B1或6C6D24如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3=0平行，那么a等于（）A1B1C2D5sin20cos10cos160sin10=（）ABCD6已知a，b为不
2、同直线，以下命题正确的有（）bABCD7如图，一个空间几何体的正视图（或称主视图）、侧视图（或称左视图）、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积为（）A1BCD8设f（x）=，xR，那么f（x）是（）A奇函数且在（0，+）上是增函数B偶函数且在（0，+）上是增函数C奇函数且在（0，+）上是减函数D偶函数且在（0，+）上是减函数9已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）ABC10D1210要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平
3、移个单位11正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D12设偶函数f（x），当x0时，f（x）=x38，则x|f（x2）0=（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13圆（x1）2+（y+2）2=2的圆心到直线xy=1的距离为14已知向量和的夹角为120，则=15已知tan=2，tan（+）=，则tan的值为16已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是三、解答题（共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
4、17已知an是一个等差数列，且a2=1，a5=5（）求an的通项an；（）求an前n项和Sn的最大值18设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b19已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，点M，N分别为A1C1与A1B的中点（）求证：MN平面 BCC1B1；（）求证：平面A1BC平面A1ABB121已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x2y=0平分圆C（1）求
5、圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N（）求实数k的取值范围；（）若=12，求k的值22已知函数f（x）=ax+logax（a0且a1）的定义域为1，2（）若f（1）=2，求实数a的值；（）若f（x）的最小值为5，求实数a的值；（）是否存在实数a，使得f（x）a2恒成立？若存在求出a的值，若不存在请说明理由2015-2016学年云南省红河州蒙自一中高二（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的）1已知集合A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则A（
6、NB）=（）A1，5，7B3，5，7C1，3，9D0，6，9【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求B的补集，再求交集【解答】解：ANB=1，3，5，7，91，2，4，5，7，8，10，11，13，14，=1，5，7故选A2已知函数f（x）=log3（8x+1），那么f （1）等于（）A2Blog310C1D0【考点】对数的运算性质；函数的值【分析】直接在函数解析式中代入x的值求解【解答】解：因为f（x）=log3（8x+1），所以f（1）=log3（81+1）=log39=2故选A3已知向量，则x=（）A2或3B1或6C6D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由得，代入坐标计算可解出x的
7、值【解答】解：，即2（x5）+3x=0，解得x=2故选D4如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3=0平行，那么a等于（）A1B1C2D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】两直线平行，可得它们x的系数之比等于y的系数之比，且不等于常数项的比，由此建立方程并解之，即得实数a的值【解答】解：直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3=0平行，解之得a=1（舍去2）故选：B5sin20cos10cos160sin10=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos1
8、60sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=故选：D6已知a，b为不同直线，以下命题正确的有（）bABCD【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用异面直线所成角的定义及线面垂直的判定定理可以判断正确；是线面垂直的性质定理；和可以举出反例说明它们的错误【解答】解：命题叙述的是两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，该命题正确事实上，a，则a垂直于内的两条相交直线，因为ab，根据异面直线所成角的定义，可得b也垂直于平面内的这两条相交直线，所以，b；命题是线面垂直的性质定理，是正确的；命题错误，在a，ab的前提下，b可能
9、在平面内，也可能与平行；命题错误，在a，ab的前提下，b可能垂直于，也可能平行于，也可能在内，还可能与是一般的斜交所以，正确的命题是故选D7如图，一个空间几何体的正视图（或称主视图）、侧视图（或称左视图）、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积为（）A1BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的形状，通过已知数据求出几何体的体积即可【解答】解：三视图复原的几何体是通过三棱锥，三条侧棱两两垂直的三个等腰直角三角形，因为直角三角形的斜边长为，所以直角边为1，所以三棱锥的体积为： =故选D8设f（x）=，xR，那么f（x）是（）A奇函数且
10、在（0，+）上是增函数B偶函数且在（0，+）上是增函数C奇函数且在（0，+）上是减函数D偶函数且在（0，+）上是减函数【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后通过讨论去绝对值号，即可探讨函数的单调性【解答】解：f（x）=，xR，f（x）=f（x），故f（x）为偶函数当x0时，f（x）=，是减函数，故选D9已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）ABC10D12【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：an是公差为1的等差数列，S8=4S4，8a1+
11、1=4（4a1+），解得a1=则a10=+91=故选：B10要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B11正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】
12、正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为4（）2=故选：A12设偶函数f（x），当x0时，f（x）=x38，则x|f（x2）0=（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x2【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质【分析】先利用偶函数的性质解出函数的解析式，然后再解分段不等式，分段不等式特点是分段求解，再求并集【解答】解：当x0时，则x0，由偶函数f（x）满足f（x）=x38（x0）可得，f（x）=f（x
13、）=x38，则f（x）=，f（x2）=，当x2时，（x2）380，解得x4；当x2时，（x2）380，解得x0；综上：x4或x0，故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13圆（x1）2+（y+2）2=2的圆心到直线xy=1的距离为【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：圆（x1）2+（y+2）2=2的圆心为（1，2），可得圆心到直线xy=1的距离d=故答案为：14已知向量和的夹角为120，则=7【考点】向量的模【分析】根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值【解答】解：由题意得，=，=7故答案为：715已知tan=
14、2，tan（+）=，则tan的值为3【考点】两角和与差的正切函数【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可【解答】解：tan=2，tan（+）=，可知tan（+）=，即=，解得tan=3故答案为：316已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）【考点】函数的零点【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）三、解答题（共6小
15、题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知an是一个等差数列，且a2=1，a5=5（）求an的通项an；（）求an前n项和Sn的最大值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（1）用两个基本量a1，d表示a2，a5，再求出a1，d代入通项公式，即得（2）将Sn的表达式写出，是关于n的二次函数，再由二次函数知识可解决之【解答】解：（）设an的公差为d，由已知条件，解出a1=3，d=2，所以an=a1+（n1）d=2n+5（）=4（n2）2所以n=2时，Sn取到最大值418设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）
16、若，c=5，求b【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由ABC为锐角三角形可得答案（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=27+2545=7所以，19已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由条件利用三
17、角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），它的最小正周期为=（2）在区间上，2x+，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+（）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+1=1+20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，点M，N分别为A1C1与A1B的中点（）求证：MN平面 BCC1B1；（）求证：平面A1BC平面A1ABB1【考点】直线
18、与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】对（），通过线线平行线面平行对（），通过证明BC垂直于平面内的两条相交直线，证线面垂直，再由线面垂直面面垂直【解答】证明：（）连接BC1点M，N分别为A1C1 A1B的中点，MNBC1MN平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，MN平面BCC1B1（）AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC又ABBC，AA1AB=A，BC平面A1ABB1BC平面A1BC，平面A1BC平面A1ABB121已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x2y=0平分圆C（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交
19、点M、N（）求实数k的取值范围；（）若=12，求k的值【考点】圆的标准方程；平面向量数量积的运算【分析】（1）设圆C的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2由圆C被直线平分可得3a2b=0，结合点A、B在圆上建立关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值即可得到圆C的方程；（2）（I）由题意，得直线l方程为kxy+1=0，根据直线l与圆C有两个不同的交点，利用点到直线的距离建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围；（II）直线l方程与圆C方程联解消去y，得（1+k2）x2（4+4k）x+7=0设M（x1，y1）、N（x2，y2），利用根与系数的关系、直线l方程和向量数量积的坐标运算公式
20、，化简=12得到关于k的方程，解之即可得到k的值【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2圆C被直线m：3x2y=0平分，圆心C（a，b）在直线m上，可得3a2b=0，又点A（1，3）、B（2，2）在圆上，将联解，得a=2，b=3，r=1圆C的方程是（x2）2+（y3）2=1； （2）过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为y=kx+1，即kxy+1=0，（I）直线l与圆C有两个不同的交点M、N，点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，即，解之得k；（II）由消去y，得（1+k2）x2（4+4k）x+7=0设直线l与圆C有两个不同的交点坐标分别为M（x1，y1）、N（x2
21、，y2），可得x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=+1，=+（+1）=12，解之得k=122已知函数f（x）=ax+logax（a0且a1）的定义域为1，2（）若f（1）=2，求实数a的值；（）若f（x）的最小值为5，求实数a的值；（）是否存在实数a，使得f（x）a2恒成立？若存在求出a的值，若不存在请说明理由【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【分析】（）直接代入f（x），假设即可得到a=2；（）讨论当a1时，当0a1，运用指数函数和对数函数的单调性，可得最小值，解方程即可得到所求a的值；（）假设存在实数a，使得f（
22、x）a2恒成立，即为a2f（x）在1，2的最大值，讨论a1和0a1，可得最大值，解不等式即可判断是否存在【解答】解：（）函数f（x）=ax+logax，可得f（1）=a+loga1=2，解得a=2；（）当a1时，y=ax在1，2递增，y=logax在1，2递增，则f（x）=ax+logax在1，2递增，即有f（1）取得最小值，且为a=51，成立；当0a1时，y=ax在1，2递减，y=logax在1，2递减，则f（x）=ax+logax在1，2递减，即有f（2）取得最小值，且为a2+loga2a21，不合要求综上可得a=5；（）假设存在实数a，使得f（x）a2恒成立即有a2f（x）在1，2的最大值，当a1时，f（x）在1，2递增，即有f（2）取得最大值a2+loga2，则a2a2+loga2，即loga20，不成立；当0a1时，f（x）在1，2递减，即有f（1）取得最大值a，则a2a，即a1或a0，不成立综上可得，不存在实数a，使得f（x）a2恒成立2017年1月15日