1、第二章函数、导数及其应用第十一节导数的简单应用最新考纲考情分析1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点2常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用3题型主要以解答题为主，属中高档题.课时作业01知识梳理
2、 诊断自测02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 函数的单调性与导数的关系函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内；(2)若 f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件单调递增单调递减常数函数知识点二 函数的极值与导数对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0 处有极值”的必要不充分条件知识点三 函数的最值与导数1函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值
3、2求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤(1)求函数 yf(x)在(a，b)内的；(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中的一个是最大值，的一个是最小值连续不断最大最小极值(1)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(2)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.()(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在
4、此区间内没有单调性()(3)函数的极大值一定大于其极小值()(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()解析：(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有 f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值(4)x0 为 f(x)的极值点的充要条件是 f(x0)0，且 x0 两侧导函数异号2小题热身(1)如图所示是函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判断中正确的是()A函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数 f(x)在区间(3,2)上是减函数C函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数D函
5、数 f(x)在区间(3,2)上是单调函数A解析：当 x(3,0)时，f(x)0 时，函数f(x)单调递增，此时由不等式 f(x)(x2)ex0，解得 x2.(4)函数 f(x)13x34x4 在0,3上的最大值与最小值分别为.4，43解析：由 f(x)13x34x4，得 f(x)x24(x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2 或 x2；令 f(x)0，得2x2.所以 f(x)在(，2)，(2，)上单调递增；在(2,2)上单调递减，而 f(2)43，f(0)4，f(3)1，故f(x)在0,3上的最大值是 4，最小值是43.(5)函数 f(x)lnxax 在 x1 处有极值，则常数 a.1解析：
6、f(x)1xa，f(1)1a0，a1，经检验符合题意第1课时 导数与函数的单调性02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 求函数的单调区间【例 1】已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间【解】(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a432243 16a3 830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2 ex，故 g(x)12x(x1)(x4)ex.令 g(x)0，即 x(x1)(x4)0，解得1x0
7、或 x0，得单调递增区间；在定义域内解不等式 fx0)，当 f(x)0 时，解得 x1e，即函数的单调递增区间为1e，；当 f(x)0 时，解得 0 x0，则其在区间(，)上的解集为，2 和0，2，即 f(x)的单调递增区间为，2，0，2.考点二 讨论函数的单调性【例 2】已知函数 f(x)x2x1alnx，讨论 f(x)的单调性【解】函数 f(x)的定义域为(0，)，导函数 f(x)12x2axx2ax2x2，x(0，)设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.(1)当 0，即2 2a2 2时，对x0，都有 f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增(2)当 0，即 a2
8、 2时，若 a2 2，方程 g(x)0 有两个不相等的正实数根x1a a282，x2a a282，0 x1x2.f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增；在x1，x2上单调递减若 a2 2，方程 g(x)0 有两个不相等的负实数根x3a a282，x4a a282，x3x42 2时，f(x)在0，a a282，a a282，上单调递增；在a a282，a a282上单调递减方法技巧讨论含参函数的单调性是高考的常驻考点，定义域范围内的导函数的零点是否为变号零点是决定函数单调性改变的充要条件，可以画导函数图象的草图帮助判定正负情况.已知函数 f(x)lnx12ax2(1a)x1，aR，讨论 f
9、(x)的单调性解：函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)1xax(1a)ax21ax1x.当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，f(x)ax21ax1xax1x1x.方程 f(x)0 有两个不相等的实数根 x11a，x21，x200时，f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减考点三 函数单调性的简单应用命题方向 1 比较大小或解不等式【例 3】(1)已知函数 yf(x)对于任意的 x0，2满足 f(x)cosxf(x)sinx1lnx，其中 f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.2f3 f4C.2f6 3f4
10、D.3f3 f6B(2)已知函数 f(x)是函数 f(x)的导函数，f(1)1e，对任意实数都有f(x)f(x)0，设 F(x)fxex，则不等式 F(x)1e2的解集为()A(，1)B(1，)C(1，e)D(e，)B【解析】(1)令 g(x)fxcosx，则 g(x)fxcosxfxsinxcos2x1lnxcos2x.由0 x0，解得1ex2；由 0 x2，gx0，解得 0 x4，所以 g3 g4，所以f3cos3f4cos4，即 2f3 f4.(2)F(x)fxexexfxex2fxfxex，又 f(x)f(x)0，知 F(x)0，F(x)在 R 上单调递减由 F(x)1，所以不等式 F
11、(x)0.h(x)1xax2.(1)若函数 h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当 x0 时，1xax21x22x有解设 G(x)1x22x，所以只要 aG(x)min.又 G(x)1x1 21，所以 G(x)min1.所以 a1.即实数 a 的取值范围是(1，)(2)h(x)在1,4上单调递减，当 x1,4时，h(x)1xax20 恒成立，则 a1x22x恒成立，设 G(x)1x22x，所以 aG(x)max.又 G(x)1x1 21，x1,4，因为 x1,4，所以1x14，1，所以 G(x)max 716(此时 x4)，所以 a 716.又当 a 716时，h(x)1x 716x27x4
12、x416x，x1,4，h(x)7x4x416x0，当且仅当 x4 时等号成立h(x)在1,4上为减函数故实数 a 的取值范围是 716，.方法技巧1利用导数比较大小或解不等式，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小或解不等式.2根据函数单调性求参数的一般思路利用集合间的包含关系处理：yfx在a，b上单调，则区间a，b是相应单调区间的子集.fx是单调递增的充要条件是对任意的 xa，b都有 fx0且在a，b内的任一非空子区间上，fx不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问
13、题.1(方向 1)(2020洛阳联考)已知定义域为 R 的奇函数 yf(x)的导函数为 yf(x)，当 x0 时，xf(x)f(x)0，若 afee，bfln2ln2，cf33，则 a，b，c 的大小关系正确的是()AacbBbcaCabcDca0 时，g(x)xfxfxx2e1ln20，g(3)g(e)g(ln2)，cab，故选 D.2(方向 1)(2020郑州预测)函数 f(x)是定义在(0，)上的可导函数，f(x)为其导函数，若 xf(x)f(x)ex(x2)且 f(3)0，则不等式f(x)0 的解集为()A(0,2)B(0,3)C(2,3)D(3，)B解析：令 g(x)xf(x)，x(
14、0，)，则 g(x)xf(x)f(x)ex(x2)，可知当 x(0,2)时，g(x)xf(x)是减函数，当x(2，)时，g(x)xf(x)是增函数又 f(3)0，所以 g(3)3f(3)0.在(0，)上，不等式 f(x)0 的解集就是 xf(x)0的解集，又 g(0)0，所以 f(x)0，由 f(x)x9x0，得 0 x0，a13，解得 10(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或0(或0)，构造函数 F(x)fxex.【典例】已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f(x)，满足 f(x)f(x)，且 f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式 f(x)ex 的解集为()A(2，)B
15、(0，)C(1，)D(4，)B【解析】因为 f(x2)为偶函数，所以 f(x2)的图象关于直线 x0 对称，所以 f(x)的图象关于 x2 对称所以 f(0)f(4)1.设 g(x)fxex(xR)，则 g(x)fxexfxexex2fxfxex.又 f(x)f(x)，所以 g(x)0(xR)，所以函数 g(x)在定义域 R 上单调递减因为 f(x)exfxex 1，而 g(0)f0e0 1，所以 f(x)exg(x)0.1已知 f(x)的定义域为(0，)，f(x)为 f(x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是()A(0,1)B(1，)C(1,2)D(2，)D解析：因为 f(
16、x)xf(x)0，所以xf(x)(x1)f(x21)，得(x1)f(x1)(x1)(x1)f(x21)，即(x1)f(x1)(x21)f(x21)，所以 x12.2已知定义域为x|x0的偶函数 f(x)，其导函数为 f(x)，对任意正实数 x 满足 xf(x)2f(x)，若 g(x)x2f(x)，则不等式 g(x)0 时，xf(x)2f(x)0，所以 g(x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递增，又 f(x)是偶函数，则 g(x)也是偶函数，所以 g(x)g(|x|)，由 g(x)g(1)得g(|x|)g(1)，所以|x|0 时，有xfxfxx20 的解集是(，2)(0,2)解析：因为当 x0 时，有xfxfxx20 恒成立，即fxx0；在(2，)内恒有 f(x)0；在(2,0)内恒有 f(x)0 的解集，即不等式 f(x)0 的解集所以答案为(，2)(0,2)温示提馨请 做：课时作业 14PPT文稿（点击进入）
