1、修远中学2019-2020学年度第一学期第一次阶段测试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上1已知集合，则 .2.命题“”的否定为 .3已知向量且则 .4若函数，则 .5.函数的定义域是 .6已知，则的最小值为 .7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 .8.已知，则的值是 .9.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为 .10在ABC中，ABAC2，BC2，点D满足2，则的值为11.已知函数 则不等式的解集为 .12.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是 .13、设函数 ,若关于x的方程有四
2、个不同的解，且，则的取值范围是 .14已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15.（本题满分14分）已知，设向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值16.（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为. （1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）过点任作一条直线与圆交于不同两点，且圆交轴正半轴于点，求证：直线与的斜率之和为定值.17（本小题满分14分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，（1）求角B的值； （2）若，求ABC的面
3、积18.（本题满分16分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题 “”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围19、（本题满分16分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知km，设建设的架空木栈道的总长为km（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短20. （本小题满分16分）已知函数（1）、若直线与的图像相切, 求实数的值；
4、、令函数，求函数在区间上的最大值（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上1 2. 3【答案】84答案：25. 6 57.【答案】8. 9.【答案】21011.【答案】12【答案】13、14【解析】当时，恒成立当时，恒成立令 当时，恒成立令，则当时，递增当时，递减时，取得最小值综上的取值范围是【答案】二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）通过，得到关于的方程，结合，
5、得到的值；（2）利用数量积的定义可得，令，则，故可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.试题解析：（1）因为，且，所以，即， 4分又，所以6分（2） 因为，且，所以，即， 9分令，则，且，因为，故，所以，11分所以 14分16.【答案】（1）或（2）详见解析【解析】【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线满足题意，当直线的斜率存在时，设切线方程为，圆心到直线的距离等于半径，列式子求解即可求出，即可得到切线方程；（2）设直线：，代入圆的方程，可得到关于的一元二次方程，设，且，直线与的斜率之和为，代入根与系数关系整理可得到所求定值。【详解】（1）当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切2分当直线
6、的斜率存在时，设切线方程为，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，切线方程为：，5分综上，过点且与圆相切的直线的方程是或6分（2）圆：与轴正半轴的交点为，依题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线：，代入圆：，整理得：.8分设，且， 10分直线与的斜率之和为 为定值. 14分【点睛】本题考查了圆的切线，考查了直线方程，考查了点到直线的距离公式，考查了斜率，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于难题。17 【解答】（1）在ABC中，因为， 所以2分因为， 由正弦定理，得 所以 4分若，则，与矛盾，故于是又因为， 所以 7分 （2）因为，由（1）及正弦定理，得，所以 9分 又12分 所以的面积为
7、.14分18. 解：（1）由题意知，对一切实数恒成立，若，不合题意，舍去； 2分若，由，解得； 5分 综上，实数的取值范围是 6分（2） 设，因为，所以，则，所以使得命题为真的实数的取值范围是； 9分因为命题“”为真命题，且“”为假命题，所以命题p与命题q一真一假，因此无解， 12分或， 15分所以，所求实数的取值范围是 16分19、解：（1）由，则，所以， 4分所以,. 8分（注：表达式2分，的的取值范围1分）(2) ， 10分令,得，又，所以， 112分当时，是的减函数；当时，是的增函数.114分所以，当时， ，此时. 15分答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时,能使三段木栈道总
8、长度最短.16分20. 解（1）设切点(x0，y0)，f(x).所以所以x0e2，k. 3分（2）因为g(x)x在(0，)上单调递增，且g(1)0所以h(x)f(x)|g(x)|lnx|x|当0x1时，h(x)lnxx，h(x)10，当x1时，h(x)lnxx，h(x)10，所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且h(x)maxh(1)06分当0a1时，h(x)maxh(1)0；当a1时，h(x)maxh(a)lnaa 9分（3）令F(x)2lnxk(x)，x(1，)所以F (x)k(1)设(x)kx22xk，当k0时，F(x)0，所以F(x)在(1，)上单调递增，又F(1)0，所以不成立； 11分当k0时，对称轴x0，当1时，即k1，(1)22k0,所以在(1，)上，(x)0，所以F(x)0，又F(1)0，所以F(x)0恒成立； 13分当1时，即0k1，(1)22k0，所以在(1，)上，由(x)0，xx0，所以x(1，x0)，(x)0，即F(x)0；x(x0，)，(x)0，即F(x)0，所以F(x)maxF(x0)F(1)0，所以不满足F(x)0恒成立 15分综上可知：k1 .16分