1、题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.3.(2022全国,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;
2、(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.4.已知抛物线C:y2=2px(p0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为2.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设=1=2,试问1+2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C:=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,
3、0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足=t(O为坐标原点),求实数t的取值范围.6.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:=1(ab0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且同向.若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.#题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解 (1)椭圆C的标准方程为+y2=1.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e=.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设
4、A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1).所以直线BM的斜率kBM=1.(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1.又因为直线DE的斜率kDE=1,所以BMDE.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).令x=3,得点M.由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=,x1x2=,直线BM的斜率kBM=.因为kBM-1=0.所以kBM=1=kDE,所以BMDE.综上
5、可知,直线BM与直线DE平行.2.解 (1)由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=,所以离心率e=.(2)设P(x0,y0)(x00,y00,即m-1时,x1,2=22.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.4.解 (1)由已知:直线m的方程为y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为,由已知()2+=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k0),则D,联立得k2x2+4(k-1)x+4=0.由0得k0,k2.设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由=t,当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;当t0时,得x0=,y0=.将上式代入椭圆方程,得=1,整理,得t2=.由k2知,0t20,因此AFM是锐角,从而MFD=180-AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形.
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