1、反证法 (15分钟30分)1.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”,下列假设中正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个是偶数D.假设a,b,c至多有两个是偶数【解析】选B.用反证法证明命题时,“a,b,c中至少有一个是偶数”的反设为假设a,b,c都不是偶数.2.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是 ()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】选C.“最多只有一个”的否定是“至少有两个
2、”,故选C.3.设a,b,c都大于0,则三个数:a+,b+,c+的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解析】选D.假设a+,b+,c+三个数都小于2,则必有a+b+c+0”反设,所得命题为“_”.【解析】“至少存在一个”反面是“不存在”.答案:函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1上恒小于等于05.设a0,b0,且a2+b2=+.证明:a2+a2与b2+b2不可能同时成立.【证明】假设a2+a2与b2+b2同时成立,则有a2+a+b2+b0,b0,所以ab=1.因为a2+b22ab=2(当且仅当a=b=1时等号成立),a+b2
3、=2(当且仅当a=b=1时等号成立),所以a2+a+b2+b2ab+2=4(当且仅当a=b=1时等号成立),这与假设矛盾,故假设错误.所以a2+a2与b2+b0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然成立.充分性:若PQR0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负的一个正的,不妨设P0,Q0.所以a+bc,b+ca,所以a+b+b+cc+a,所以bb,nN*,那么两个数列中序号与数值均相等的项的个数有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个【解析】选A.假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得an=bn,由
4、题意ab,nN*,则恒有anbn,从而an+2bn+1恒成立,所以不存在n使得an=bn.5.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在“好点”,那么a的取值范围是()A.B.C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)【解析】选A.假设函数f(x)存在“好点”,即x2+2ax+1=x有解,所以x2+(2a-1)x+1=0.所以=(2a-1)2-40,解得a-或a.所以f(x)不存在“好点”时,a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中
5、至少有一个数不小于_.【解析】假设a,b,c都小于,则a+b+c0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0x0.(1)证明:是f(x)=0的一个根.(2)试比较与c的大小.(3)证明:-2b-1.【解题指南】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,得出x1=c是f(x)=0的根,再根据根与系数的关系,即可证明是f(x)=0的一个根.(2)利用反证法,假设0,得出f0,与已知条件矛盾,即可得出c.(3)由f=0,得ac+b+1=0,所以b=-1-ac,又a0,c0,所以b-1,再根据二次函数的图象与性质,即可证明.【解析】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=,所以x2=,所以是f(x)=0的一个根.(2)假设0,由0x0,知f0,与f=0矛盾,所以c.又因为c,所以c.(3)由f=0,且c0得ac+b+1=0,所以b=-1-ac,又a0,c0,所以b-1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-=x2=,即-0,所以b-2,所以-2b-1.
