1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第九节 离散型随机变量的均值与方差最新考纲考情分析1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题2题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合能力以及分析问题、解决问题的能力.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 离散型随机变量的均值与方差1均值一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：Xx1x2xixnP
2、p1p2pipn则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而 E(X)是不变的，它描述 X 取值的平均状态(3)E(X)x1p1x2p2xnpn 直接给出了 E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加2方差设离散型随机变量 X 的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2 描述了 xi(i1,2，n)相对于均值 E(X)的偏离程度而 D(X)i1
3、n(xiE(X)2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度称 D(X)为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差知识点二 均值与方差的性质1两个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)pD(X)p(1p)二项分布E(X)npD(X)np(1p)2.均值与方差的性质若 YaXb，其中 a，b 是常数，X 是随机变量，则(1)E(k)k，D(k)0，其中 k 为常数；(2)E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)；(3)E(X1X2)E(X1)E(X2)；(4)D(X)E(X2)(E(X)2；(5)若 X1，
4、X2 相互独立，则 E(X1X2)E(X1)E(X2)(6)若 XN(，2)，则 X 的均值与方差分别为：E(X)，D(X)2.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事()2小题热身(1)已知 X 的分布列为：X101P121316设 Y2X3，则 E(Y)的值为()A73 B4C1 D1A解析：E(X)121613，E(Y)E(2X3)2E(X)32
5、3373.(2)已知 B4，13，并且 23，则方差 D()()A.329 B.89 C.439 D.599A解析：由题意知，D()413113 8923，D()4D()489329.(3)设随机变量 X服从正态分布 N(0,1)，若P(X1)p，则P(1X0)P(X1)P(X1)p，所以 P(1X0)P(X0)P(X1)12p.(4)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1 Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是乙解析：E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.
6、310.520.20.9，E(Y)E(X)乙技术好(5)有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X).916解析：XB3，14，D(X)31434 916.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 离散型随机变量的均值与方差【例 1】某品牌汽车 4S 店，对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示已知分 9 期付款的频率为 0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分 3 期付款，其利润为 1 万元；分 6期或 9 期付款，其利润为 1.5 万元；分 12 期或 15 期付款，其利润为 2万元
7、用 表示经销一辆汽车的利润.付款方式分 3 期分 6 期分 9 期分 12 期分 15 期频数4020a10b(1)求上表中的 a，b 值；(2)若以频率作为概率，求事件 A“购买该品牌汽车的 3 位顾客中，至多有 1 位采用分 9 期付款”的概率 P(A)；(3)求 的分布列及均值 E()【解】(1)由 a1000.2，得 a20.又 4020a10b100，所以 b10.(2)记分期付款的期数为，的可能取值是 3,6,9,12,15.依题意，得 P(3)401000.4，P(6)201000.2，P(9)0.2，P(12)101000.1，P(15)101000.1.则“购买该品牌汽车的
8、3 位顾客中，至多有 1 位分 9 期付款”的概率为 P(A)0.83C130.2(10.2)20.896.(3)由题意，可知 只能取 3,6,9,12,15.而 3 时，1；6 时，1.5；9 时，1.5；12 时，2；15 时，2.所以 的可能取值为 1,1.5,2，且 P(1)P(3)0.4，P(1.5)P(6)P(9)0.4，P(2)P(12)P(15)0.10.10.2.故 的分布列为11.52P0.40.40.2所以 的均值 E()10.41.50.420.21.4.方法技巧 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如
9、两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应.为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14，16；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过 3小时(1)求
10、甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求 的分布列与均值 E()，方差 D()解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元，甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为11412 14，11623 16.两人都付 0 元的概率为 P11416 124，两人都付 40 元的概率为 P2122313，两人都付 80 元的概率为 P31416 124，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3 12413 124 512.(2)设 甲、乙 所 付 费 用 之 和 为 ，的 可 能 取 值 为0,40,80,120,160，则
11、P(0)1416 124，P(40)1423121614，P(80)141612231416 512，P(120)1216142314，P(160)1416 124.所以 的分布列为04080120160P1241451214124E()0 124401480 51212014160 12480.D()(080)2 124(4080)214(8080)2 512(12080)214(16080)2 1244 0003.考点二 二项分布的均值与方差【例 2】甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人 6 次测试的成绩(单位：分)记录如下：甲 86 77 92 72 78 84乙 78
12、 82 88 82 95 90(1)用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)(2)若将频率视为概率，对运动员甲在今后 3 次测试中的成绩进行预测，记这 3 次测试的成绩高于 85 分的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X)及方差 D(X)【解】(1)茎叶图如图：由图可知乙的平均水平比甲高，故选派乙参赛更好(2)由题意得，甲运动员每次测试的成绩高于85分的概率是13，3 次测试的成绩高于 85 分的次数 X 服从二项分布，X 所有可能的取值为 0,1,2,3，P(X0)C03(13)0(23)3 827，P(X1)C13(13)
13、1(23)249，P(X2)C23(13)2(23)129，P(X3)C33(13)3(23)0 127，X 的分布列为X0123P8274929127E(X)3131，D(X)3132323.方法技巧 二项分布的期望与方差1如果 Bn，p，则用公式 Enp；Dnp1p求解，可大大减少计算量.2有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 EabaEb 以及 Enp 求出 Eab，同样还可求出 Dab.(2020广东省七校联合体联考)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了 80 个零件进行测量，根据测量的数据作出如图
14、所示的频率分布直方图注：尺寸数据在 63.0,64.5)内的零件为合格品，频率作为概率(1)从产品中随机抽取 4 个，记合格品的个数为，求 的分布列与期望(2)从产品中随机抽取 n 个，全是合格品的概率不小于 0.3，求 n 的最大值(3)为了提高产品合格率，现提出 A，B 两种不同的改进方案进行试验若按 A 方案进行试验后，随机抽取 15 个产品，不合格品个数 X 的期望是 2；若按 B 方案进行试验后，随机抽取 25 个产品，不合格品个数 Y 的期望是 4.你会选择哪种改进方案？解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.750.650.2)0.50.8，即抽取 1 个
15、产品为合格品的概率为45，从产品中随机抽取 4 个，合格品的个数 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(0)(15)4 1625，P(1)C1445(15)3 16625，P(2)C24(45)2(15)2 96625，P(3)C34(45)315256625，P(4)(45)4256625.所以 的分布列为01234P16251662596625256625256625 的数学期望 E()445165.(2)从产品中随机抽取 n 个产品，全是合格品的概率为(45)n，依题意得45n0.3，故 n 的最大值为 5.(3)设按 A 方案进行试验后，随机抽取 1 个产品是不合格品的概率是 a，
16、则随机抽取 15 个产品，不合格品个数 XB(15，a)；设按 B 方案进行试验后，随机抽取 1 个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取 25 个产品，不合格品个数 YB(25，b)依题意得 EX15a2，EY25b4，所以 a 215，b 425.因为 215 425，所以应选择方案 A.考点三 均值与统计的综合应用【例 3】(2020武汉市调研测试)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加为了更好地制定 2019 年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶
17、贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入 x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为年平均收入 x，2 近似为样本方差 s2，经计算得 s26.92.利用该正态分布，解决下列问题：在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了 1
18、 000 位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这 1 000 位农民中年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式6.922.63，若 XN(，2)，则P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3)120.682 720.841 4，17.402.6314.77，即最低年收入大约为 14.77 千元由 P(X12.14)P(X2)0.50.954 520.977 3，得每个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件的概率为 0.977 3，记这 1 000 位农民中年收入不少于 12.14 千元的人数为，则B(103，p)，其中 p0.977 3，于是
19、恰好有 k 位农民的年收入不少于 12.14 千元的事件的概率是 P(k)Ck103pk(1p)103k，从而由 PkPk11 001kpk1p1，得 k1 001p，而 1 001p978.277 3，所以，当 0k978 时，P(k1)P(k)，由此可知，在所走访的 1 000 位农民中，年收入不少于 12.14千元的人数最有可能是 978.方法技巧 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获得利润 500 元，未售出的产品
20、，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100,110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T
21、的均值解：(1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000.当 X130,150时，T50013065 000.所以 T800X39 000，100X130，65 000，130X150.(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元，当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.(3)依题意可得 T 的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 E(T)45 0000.153 0000.261 00
22、00.365 0000.459 400.考点四 均值与函数、不等式、数列的交汇问题【例 4】(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1
23、分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设 0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性【解】(1)X 的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以
24、 X 的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1.因此 pi0.4Pi10.5pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即 pi1pi4(pipi1)又因为 p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)为公比为 4，首项为 p1 的等比数列由可得 p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)4813p1.由于 p81，故 p13481，所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)4413p11257.p4 表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药
25、治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 12570.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理方法技巧 1.本题的解题思路是：(1)先求出 X 的所有可能取值，再用，表示出 X 取各个值时的概率，即可得 X 的分布列(2)由(1)得 a，b，c 的值，再利用等比数列的定义，证明数列pi1pi是等比数列；利用的结论，将 p8 用 p1表示，再根据 p81，可求出 p1，从而得 p4 的值，即可对方案的合理性做出判断2均值与函数、不等式、数列等跨学科知识的交汇问题是当前高考的一大命题趋势，成为高考压轴题的命题生长点已知 A1，A2，A3，A10 等 10 所高校举行
26、自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为 p(0p1)(1)如果该同学 10 所高校的考试都参加，恰有 m(1m10)所通过的概率为 f(p)，当 p 为何值时，f(p)取得最大值；(2)若 p12，该同学参加每所高校考试所需的费用均为 a 元，该同学决定按 A1，A2，A3，A10 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，否则，继续参加其他高校的考试，求该同学参加考试所需费用 的分布列及数学期望解：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为 p，所以该同学恰好通过 m(1m10)所高校自主招生考试的概率为 f(p)Cm10pm(1p)10m，f(p)Cm1
27、0mpm1(1p)10m(10m)pm(1p)9mCm10pm1(1p)9mm(1p)(10m)pCm10pm1(1p)9m(m10p)，当 0p0，f(p)单调递增；当m10p1 时，f(p)0，f(p)单调递减，所以当 pm10时，f(p)取得最大值(2)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi(1i10，iZ)因为 Pi12i，1i9，iZ，129，i10，所以该同学参加考试所需费用 的分布列如下：a2a3a4a5a6a7a8a9a10aP12122123124125126127128129129所以 E()121 1222 1299 12910 a，令 S121 1222 1299，则12S 1221 1232 1298 12109，由得12S12 122 129 12109，所以 S112 122 128 1299，所 以E()112 122 128 1299 12910a 112 129 a1 1210112a21 1210 a1 023512 a(元)温示提馨请 做：课时作业 74PPT文稿（点击进入）
